|
Вспомнил одну интересную, на мой взгляд, задачу. Найти все пары целых чисел $%x$% и $%y$%, удовлетворяющих уравнению: $% y^4 + y^3 + y^2 + y = x^2 + x$%. задан 11 Ноя '14 22:00 
Urt |
|
Умножим обе части уравнения на 4 и прибавим единицу: $%4y^4+4y^3+4y^2+4y+1=(2x+1)^2$%. Заметим, что $%(2y^2+y)^2=4y^4+4y^3+y^2$% строго меньше значения левой части при $%y\ne-1$%, откуда $%2y^2+y < |2x+1|$%. (Здесь учтено то, что $%y(2y+1)\ge0$% при целых $%y$%.) Следовательно, $%2y^2+y+1\le|2x+1|$%, и возведение в квадрат даёт $%4y^4+4y^3+5y^2+2y+1\le(2x+1)^2=4y^4+4y^3+4y^2+4y+1$%, откуда $%y^2\le2y$%. При каждом из значений $%y\in\{-1;0;1;2\}$% исходное уравнение решается вручную. Получается множество решений $%(x,y)\in\{(-1,-1),(0,-1),(-1;0),(0;0),(5;2),(-6;2)\}$%. отвечен 11 Ноя '14 22:36 
falcao 1
@falcao, здесь мне припоминаются ответ соискателя во время защиты диссертации на реплику члена специализированного совета "... и что тут Вы выносите на защиту - задачка часа на два работы". - "Это Вам, уважаемый АА, на два часа, а я четыре месяца с ней разбирался".
(11 Ноя '14 22:53)
Urt
@Urt угу, все познается в сравнении. Для кого-то и доказательство гипотезы Пуанкаре было вполне посильным. )))
(11 Ноя '14 23:28)
night-raven
@Urt: мне поначалу подумалось, что эта задача сродни чему-то типа нахождения квадратов среди треугольных чисел. Но потом сразу же возникла идея использовать неравенства. Я при этом долго оформлял текст, чтобы не пропустить "мелкие" решения, а также не рассматривать отдельно случаи отрицательных $%x$% или $%y$%.
(11 Ноя '14 23:39)
falcao
@falcao. Тогда я сравнительно быстро поймал идею, проверил вчерне ее работоспособность и решение выдал в виде совета: «1. Решаем квадратное уравнение относительно х. Выражение под корнем (полином от у) должно быть целым числом. 2. Исследуем подкоренное выражение. Подбираем полином от у, такой что его квадрат заведомо меньше выражения под корнем, а при увеличении на 1 квадрат больше выражения под корнем или равен ему. 3. Делаем вывод.» После того, как мне показали 6 пар, я еще раз убедился в важности деталей (два из них при черновом решении я упустил).
(12 Ноя '14 0:17)
Urt
|