диофантовы-уравнения - Уравнение в целых числах $%x(x+1)=pq(x-y)$%

Легко видеть, что ни $%x$%, ни $%x+1$% не могут одновременно делиться на $%pq$%: в противном случае после сокращения правая часть будет строго меньше $%x$%, а для левой это не так.

Рассматриваем два случая.

1) $%x$% кратно $%p$%, $%x+1$% кратно $%q$%. Полагаем $%x=pa$%, $%x+1=qb$%. После сокращения получается $%x-y=ab < x$%; это неравенство необходимо и достаточно. Оно означает, что $%1\le b < p$%, и для таких $%b$% мы решаем уравнение $%pa+1=qb$%. Ясно, что среди чисел вида $%qb$%, которых имеется $%p-1$%, остатки от деления на $%p$% все ненулевые, и они не повторяются. Поэтому решение для первого случая существует и единственно. Заметим, что $%pa=qb-1\le q(p-1)+1 < pq$%, откуда $%a < q$%.

2) $%x=qa'$%, $%x+1=pb'$%. Здесь получается $%x-y=a'b' < x$%, то есть $%b' < q$%. Уравнение имеет вид $%qa'+1=pb'$%, и оно также имеет ровно одно решение в натуральных числах. Здесь также $%qa'=pb'-1 < pq$%, и $%a' < p$%.

Всего получается два решения. Совпадать они не могут, так как $%x$% в одном случае кратно $%p$%, а в другом нет.

Решения одного и другого уравнения связаны следующим образом: $%p(a+b')=q(a'+b)$%. Из этого можно сделать вывод, что $%a+b'=q$% и $%a'+b=p$%, поскольку $%a+b'$% кратно $%q$% и $%a+b' < 2q$%. В первом случае было $%y=x-(x-y)=pa-ab=a(p-b)$%, а во втором $%y=x-(x-y)=qa'-a'b'=a'(q-b')$%. Из того, что было сказано выше, видно, что эти два значения одинаковы.