Докажите, что по крайней мере одно из оснований перпендикуляров, проведенных из внутренней точки выпуклого многоугольника к прямым содержащим его стороны, принадлежит самой стороне, а не лежит на ее продолжении.

задан 12 Ноя '14 1:06

изменен 12 Ноя '14 1:06

10|600 символов нужно символов осталось
1

Известно "механическое" доказательство этого факта. Если бы такой многоугольник существовал, то можно было бы сделать гайку соответствующей формы, сосредоточив массу в одной точке, и она бы всегда падала на какую-то из сторон, что давало бы конструкцию вечного двигателя :)

Математическое доказательство такое. Рассмотрим сторону многоугольника, к которой точка $%P$% расположена ближе всего. Пусть $%PP_1$% -- перпендикуляр, опущенный из точки $%P$% на прямую $%AB$%, основание которого расположено на продолжении луча $%AB$% за точку $%B$%. Тогда получается, что следующая сторона $%BC$% к точке $%P$% находится ближе, чем $%AB$%. Это ясно, например, из того, что прямая $%BC$% пересекает отрезок $%PP_1$% в какой-то точке $%K$% (поскольку луч $%BC$% проходит внутри острого угла $%PBP_1$%). При этом наклонная $%PK$% к прямой $%BC$% короче, чем $%PP_1$%, а перпендикуляр к $%BC$% не длиннее наклонной.

ссылка

отвечен 12 Ноя '14 1:35

10|600 символов нужно символов осталось
1

Возьмём из них наименьший по длине. Ясно, что он не может попасть на продолжение стороны, к которой проведён, ведь тогда он пересечёт какую-то другую сторону, а длина отрезка до пересечения будет строго меньше, а длина перпендикуляра к этой стороне - ещё строго меньше, значит, этот перпендикуляр не наименьший - противоречие.

ссылка

отвечен 12 Ноя '14 1:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,903
×51
×13

задан
12 Ноя '14 1:06

показан
1103 раза

обновлен
12 Ноя '14 1:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru