Производная функции

$%\frac{dr}{dx}=(\sqrt{x^2+y^2})'=\frac{x+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}}$%

$%\frac{dr}{dx}=a\frac{d\varphi}{dx}=({\rm arctg}\frac{y}x)'=\frac{y'x-y}{x^2}\cdot\frac1{1+(y/x)^2}=\frac{y'x-y}{x^2+y^2}$%

Приравнивая, получаем $%r(x+yy')=xy'-y$%, откуда $%y'=\frac{rx+y}{x-ry}=\frac{r+y/x}{1-r\cdot y/x}$%. Эта формула напоминает формулу тангенса суммы двух углов, для одного из которых $%y/x={\rm tg}\varphi$%, а для другого $%{\rm tg}\psi$%, где $%\psi={\rm arctg\,} r={\rm arctg\,}a\varphi$%. Это значит, что $%y'=\frac{{\rm tg}\varphi+{\rm tg}\psi}{1-{\rm tg\varphi}\cdot{\rm tg}\psi}={\rm tg}(\varphi+\psi)$%.

Ответ совпадает с указанным с точностью до множителя $%a$%.