комбинаторика - О свойствах игры Гекс и гекс-поля

Когда я читал в детстве про эту игру (видимо, у Гарднера), то мне тоже показалось, что факт отсутствия ничьих не вполне очевиден. С доказательством, которое где-либо было написано, я до сей поры не сталкивался, но меня устраивало следующее рассуждение, базирующееся на наглядно-очевидных соображениях. Выглядело оно так: пусть противоположные стороны ромба выкрашены в красный цвет (одна пара сторон) и синий цвет (другая пара). Пусть также доска произвольным способом полностью заставлена красными или синими фишками. Можно считать, что поля покрашены в красный или синий цвет. Начинаем формировать два множества точек: красное и синее. Изначально красное множество состоит из двух сторон ромба, и аналогично для синего. Допустим, что к красной стороне примыкает красный 6-угольник. Присоединяем его к красному множеству. Его граница имеет многоугольную форму, и к ней могут примыкать красные 6-угольники. Добавляем их, пока это возможно, расширяя множество. Если оно дойдёт до противоположной границы, то всё доказано. Аналогично поступаем с синим множеством. Если никакое из них не дошло до границы, то смотрим на то, что возникает "между" границами. Из устройства гексагональной решётки становится ясно, что такого быть не может.

Само рассуждение обладает не очень высокой степенью убедительности, поэтому возникает потребность в более строгом рассуждении, и очень хорошо, что Вы подняли этот вопрос. Насколько я знаю, источников с полноценным доказательством имеется не так много, но они есть. Вот две ссылки: эта и эта. Текст там один и тот же, но вторая имеет вид опубликованной статьи, а первая более удобна для чтения чисто технически.

Доказательство можно кратко пересказать. Строится граф, вершины которого -- это узлы гексагональной решётки. Рёбра проводятся на границе двух 6-угольников разного цвета. По углам ромба добавлены 4 вспомогательные вершины, и они соединены ребром с вершиной решётки. Можно считать, что эти рёбра лежат на границах внешних красной и синей областей.

Рассмотрим любую из вершин графа. Она имеет валентность не более двух. Это ясно из того, что в вершине сходятся три 6-угольника, и два из них одноцветны. Кроме того, все вершины внутри имеют валентность 2 или 0, а добавленные вершины имеют валентность 1. Структура такого графа хорошо понятна, и в нём вершины валентности 1 должны быть как-то соединены попарно путями в этом графе, но не по диагонали. После того, как эти соединения нарисованы, а это дизъюнктные простые пути, становится ясно, кто выиграл. То есть между путями появляется "коридор" какого-то из цветов. Интересно, что здесь ответ можно получить не зрительно, а чисто "машинно".

Что касается стратегий, то мне кажется, что общих фактов тут не известно, а для полей малого размера я нашёл некоторое обсуждение здесь, но там всё носит чисто технический характер, поэтому я как следует не вникал.