алгебра - Разложить многочлен на неприводимые множители

Когда ставится задача о разложении на неприводимые множители, должно быть указано, какие значения могут принимать коэффициенты. Ответ может отличаться в зависимости от того, что мы рассматриваем: $%\mathbb Q$%, $%\mathbb R$% или $%\mathbb C$%.

Нужно сначала найти все комплексные корни. Уравнение переписывается в виде $%(x^2+2x)^2=-1$%, откуда $%x^2+2x=\pm i$%. Отсюда $%(x+1)^2=1\pm i$%. Число $%1+i$% имеет тригонометрическую форму $%\sqrt2(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4)$%, поэтому квадратный корень из него принимает значения $%\pm\sqrt[4]2(\cos\frac{\pi}8+i\sin\frac{\pi}8)$%. Для сопряжённого числа получится сопряжённое значение. Тем самым, четыре комплексных корня будут равны $%\pm\sqrt[4]2(\cos\frac{\pi}8\pm i\sin\frac{\pi}8)$% со всеми возможными комбинациями знаков. Из этого получается разложение на неприводимые (линейные) множители с комплексными коэффициентами.

Можно заметить, что $%\cos\frac{\pi}8=\frac12\sqrt{2+\sqrt2}$% и $%\sin\frac{\pi}8=\frac12\sqrt{2-\sqrt2}$%, что следует из формул для половинных углов.

Теперь рассмотрим разложение на множители с действительными коэффициентами. Для этого надо комплексный корни разбить на пары сопряжённых. В одну пару попадут числа $%z_1=-1+\sqrt[4]2(\cos\frac{\pi}8+i\sin\frac{\pi}8)$% и $%\bar{z}_1=-1+\sqrt[4]2(\cos\frac{\pi}8-i\sin\frac{\pi}8)$%. Произведение $%(x-z_1)(x-\bar{z}_1)$% будет равно $%x^2-(z_1+\bar{z_1})x+z_1\bar{z}_1$%, где $%z_1+\bar{z_1}=-2+2\sqrt[4]2\cos\frac{\pi}8=\sqrt[4]2\sqrt{2+\sqrt2}-2=\sqrt{2\sqrt2+2}-2$% и $%z_1\bar{z_1}=|z_1|^2=\sqrt2+1-\sqrt{2\sqrt2+2}$%. Получается многочлен степени 2 с действительными коэффициентами: $$x^2+(2-\sqrt{2\sqrt2+2})x+1+\sqrt2-\sqrt{2\sqrt2+2}.$$ Аналогично, второй сомножитель будет равен $$x^2+(2+\sqrt{2\sqrt2+2})x+1+\sqrt2+\sqrt{2\sqrt2+2}.$$