Разложить многочлен на неприводимые множители:

alt text

задан 12 Ноя '14 19:11

изменен 12 Ноя '14 22:30

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Когда ставится задача о разложении на неприводимые множители, должно быть указано, какие значения могут принимать коэффициенты. Ответ может отличаться в зависимости от того, что мы рассматриваем: $%\mathbb Q$%, $%\mathbb R$% или $%\mathbb C$%.

Нужно сначала найти все комплексные корни. Уравнение переписывается в виде $%(x^2+2x)^2=-1$%, откуда $%x^2+2x=\pm i$%. Отсюда $%(x+1)^2=1\pm i$%. Число $%1+i$% имеет тригонометрическую форму $%\sqrt2(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4)$%, поэтому квадратный корень из него принимает значения $%\pm\sqrt[4]2(\cos\frac{\pi}8+i\sin\frac{\pi}8)$%. Для сопряжённого числа получится сопряжённое значение. Тем самым, четыре комплексных корня будут равны $%\pm\sqrt[4]2(\cos\frac{\pi}8\pm i\sin\frac{\pi}8)$% со всеми возможными комбинациями знаков. Из этого получается разложение на неприводимые (линейные) множители с комплексными коэффициентами.

Можно заметить, что $%\cos\frac{\pi}8=\frac12\sqrt{2+\sqrt2}$% и $%\sin\frac{\pi}8=\frac12\sqrt{2-\sqrt2}$%, что следует из формул для половинных углов.

Теперь рассмотрим разложение на множители с действительными коэффициентами. Для этого надо комплексный корни разбить на пары сопряжённых. В одну пару попадут числа $%z_1=-1+\sqrt[4]2(\cos\frac{\pi}8+i\sin\frac{\pi}8)$% и $%\bar{z}_1=-1+\sqrt[4]2(\cos\frac{\pi}8-i\sin\frac{\pi}8)$%. Произведение $%(x-z_1)(x-\bar{z}_1)$% будет равно $%x^2-(z_1+\bar{z_1})x+z_1\bar{z}_1$%, где $%z_1+\bar{z_1}=-2+2\sqrt[4]2\cos\frac{\pi}8=\sqrt[4]2\sqrt{2+\sqrt2}-2=\sqrt{2\sqrt2+2}-2$% и $%z_1\bar{z_1}=|z_1|^2=\sqrt2+1-\sqrt{2\sqrt2+2}$%. Получается многочлен степени 2 с действительными коэффициентами: $$x^2+(2-\sqrt{2\sqrt2+2})x+1+\sqrt2-\sqrt{2\sqrt2+2}.$$ Аналогично, второй сомножитель будет равен $$x^2+(2+\sqrt{2\sqrt2+2})x+1+\sqrt2+\sqrt{2\sqrt2+2}.$$

ссылка

отвечен 12 Ноя '14 20:00

10|600 символов нужно символов осталось
0

Над каким полем? Над полем комплексных чисел вначале получим $%(x^2+2x+i)(x^2+2x-i)$%, решив квадратные уравнения, имеем $%(x+1+\sqrt{1+i})(x+1-\sqrt{1+i})(x+1+\sqrt{1-i})(x+1-\sqrt{1-i})$%.

ссылка

отвечен 12 Ноя '14 19:38

@Lyudmyla, над полем вещественных чисел.

(12 Ноя '14 19:48) boolz
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,487
×3,683
×408
×56

задан
12 Ноя '14 19:11

показан
12287 раз

обновлен
12 Ноя '14 20:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru