|
Доказать ограниченность и проверить линейность оператора $%F:R^3-R^2$%, $%F(x,y,z)=(x-y,y+z)$%. задан 12 Ноя '14 23:40 
олька
показано 5 из 7
показать еще 2
|
|
Ограниченность оператора следует из таких соображений. Рассмотрим вектор $%v=(x,y,z)\in\mathbb R^3$%, евклидова норма которого равна 1, то есть $%x^2+y^2+z^2=1$%. Из этого следует, что $%|x|\le1$%, $%|y|\le1$%, $%|z|\le1$%. Тогда $%|x-y|\le|x|+|y|\le2$% и $%|y+z|\le|y|+|z|\le2$%. Тем самым, $%(x-y)^2+(y+z)^2\le8$%, и это значит, что $%||Av||\le2\sqrt2$% для любого вектора $%v$% с условием $%||v||=1$%. Поэтому оператор $%A$% ограничен (имеет ограниченную норму, не превосходящую $%2\sqrt2$%). отвечен 13 Ноя '14 18:14 
falcao |
Сначала Вам вопрос: а Вы пытались сделать эту задачу? Неужели даже проверить линейность не получилось? Определение линейного оператора можете дать?
Отображение А: Х→У называется линейным оператором, если выполнены условия: 1. A(x+y)=a(x)+A(y)
2. A(nx)=nA(x)
Линейность получилась, а доказательство ограниченности нет.
Значит, чтобы проверить линейность по аргументу $%x$% нужно проверить, что $$F(x_1+x_2,y,z)=F(x_1,y,z)+F(x_2,y,z).$$ Распишите левую и правую части: что такое $%F(x_1+x_2,y,z)$% ($%x$% заменяем на $%x_1+x_2$%) и $%F(x_1,y,z)$%, $%F(x_2,y,z)$%. Аналогично для вынесения множителя.
Спасибо большое!
@cartesius: тут ведь речь идёт о линейности оператора, а не линейности по каждому аргументу. Проверять надо другое свойство.
Прошу прощения - переинтерпретировала условие на свой лад. @олька, проверять надо, что $%F(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)=F(x_1,y_1,z_1)+F(x_2,y_2,z_2)$% и $%F(nx,ny,nz)=nF(x,y,z)$%. По тому же самому принципу, что описано в комментариях выше. @falcao, спасибо!