геометрическая-прогрессия - Геометрические прогрессии

Я рассмотрю ту версию, на которой выше остановился. Если прогрессий было бы бесконечное число, то можно начать каждую из них со своего натурального числа. В этом случае ответ получился бы отрицательным. Поэтому число прогрессий считаем конечным. Если допустить, что они конечны, то задача также становится неинтересной, потому что общее количество чисел конечно. Значит, рассматриваем бесконечные прогрессии.

Рассуждаем от противного: пусть все натуральные числа куда-то входят. Тогда какая-то из прогрессий должна содержать бесконечно много натуральных чисел. То же самое верно для степеней произвольно взятого простого числа $%p$%. В частности, в какой-то из прогрессий встречаются меньшей мере два из них. Пусть это $%p^m$% и $%p^n$%, где $%m\ne n$%. Если $%q$% -- знаменатель прогрессии, то некоторая его степень с натуральным показателем равна $%p^{n-m}$%. Легко понять, что для фиксированного $%q$% может найтись лишь одно простое число с таким свойством. Действительно, если $%q^{k_1}=p_1^{d_1}$% и $%q^{k_2}=p_2^{d_2}$%, где $%p_1\ne p_2$% -- простые, а показатели являются ненулевыми целыми, то $%p_1^{d_1k_2}=p_2^{d_2k_1}$%. Оба показателя в этом равенстве имеют одинаковые знаки, и их можно считать натуральными. Это противоречит основной теореме арифметики.