Степенные неравенства

Домножим неравенство на 2 и рассмотрим его как квадратное относительно $%y=2^x$%. Получится $%y^2-y(2\sqrt{x}+x)+2x\sqrt{x} > 0$%. Дискриминант квадратного трёхчлена равен $%D=(2\sqrt{x}+x)^2-8x\sqrt{x}=x^2-4x\sqrt{x}+4x=(x-2\sqrt{x})^2$%. Он всегда неотрицателен, а корни находятся по формуле, и они равны $%2x$% и $%\sqrt{x}$% соответственно. Это можно было бы увидеть также при помощи теоремы Виета.

Получается разложение на множители $%(y-2x)(y-\sqrt{x}) > 0$%. Надо выяснить знаки сомножителей. Прежде всего, рассмотрим уравнение $%2^x=2x$% при $%x\ge0$%. Оно имеет два корня $%x=1$% и $%x=2$%, которые видны сразу. Докажем, что других корней оно не имеет.

Рассмотрим функцию $%f(x)=2^x-2x$%. Её производная равна $%f'(x)=2^x\ln2-2$%, а вторая производная равна $%f''(x)=2^x\ln^22$%, то есть всюду положительна. Отсюда следует, что наше уравнение не может иметь трёх различных корней, так как производная при этом обращалась бы в ноль в двух разных точках, и между ними был бы нуль второй производной.

Из графика видно, что $%2^x-2x > 0$% при $%x\in[0;1)\cup(2;+\infty)$%, и $%2^x < 2x$% при $%x\in(1;2)$%. Это также легко обосновывается аналитически: можно посмотреть на значения функции в точках интервалов, а знак является постоянным, так как все корни нами найдены.

Теперь рассматриваем второе равенство $%2^x=\sqrt{x}$%. Если нарисовать графики, то видно, что первый график всюду выше. Пока что примем это на веру, а ниже докажем строго аналитически. У нас получилось, что $%y-\sqrt{x} > 0$% на всей области определения, поэтому наше неравенство равносильно $%2^x > 2x$%, а оно уже решено, и ответ выписан выше. Осталось проверить, что $%2^x > \sqrt{x}$% при всех $%x\ge0$%.

При $%x\in[0;1)$% получается $%2^x\ge1 > \sqrt{x}$%. Пусть $%x > 1$%. Тогда $%2^x > 2 \ge\sqrt{x}$% при всех $%x\le4$%. Далее при $%x > 4$% получится $%2^x > 2^4$%, и неравенство станет верно при всех $%x\le256$%. Понятно, что таким способом мы покроем весь числовой луч.

Это неравенство верно с очень большим "запасом", и доказать его можно многими способами -- в том числе с применением производной.