|
Правильно ли я решил? Знак "=" будет использован вместо тождественного равенства, подразумевая сравнение по модулю. $$(p-1)! + 1 = 0(mod p);$$ где p - простое число. Доказать, что справедливо для любых p или что существуют такие p, для которых данное условие решений не имеет. Я рассуждал так... по одному из свойств сравнений допустимо представить это выражение как $$(p-1)! = (-1)(mod p)$$ $%(p-1)!$% - это есть ни что иное, как $%1 \ast 2 \ast 3 \ast ... \ast (p-1)$%, тогда, если с одним из множителей: $%(p-1)$% - сравнимо, то есть $%(p-1) = (-1)(mod p)$% (верно) (очевидно, так как $%p$% простое), то и факториал этого числа, содержащий данный множитель сравним с $%(-1)$% по модулю ($%p$%). Я почти наверняка уверен, что где-то в рассуждениях есть ошибка, так как декан, давая задание, сказал, что придётся потрудиться, чтобы аккуратно и полно доказать данное выражение. P.S. Заранее спасибо. задан 25 Апр '12 6:35 
zhildemon |
|
Да, есть ошибка. Если равенство $%(p-1)\equiv -1(\mod p)$%, умножить на какое-то число $%a$% ( в Вашем случае (p-2)!), оно примет вид $%(p-1)\cdot a\equiv -a(\mod p)$%. Тогда надо еще доказать, что $%a\equiv 1(\mod p)$%, что нисколько не легче. Эта задача - известная в теории чисел теорема Вильсона. Ее доказательство есть в литературе, оно совсем не тривиальное. Но Вы все же постарайтесь подумать сами. Кстати, $%(p-1)\equiv -1(\mod p)$% независимо от простоты/непростоты p. А теорема для непростых p не выполняется (проверьте!). отвечен 25 Апр '12 8:39 
DocentI спасибо большое
(25 Апр '12 11:49)
zhildemon
|
