Правильно ли я решил?

Знак "=" будет использован вместо тождественного равенства, подразумевая сравнение по модулю.

$$(p-1)! + 1 = 0(mod p);$$

где p - простое число. Доказать, что справедливо для любых p или что существуют такие p, для которых данное условие решений не имеет.

Я рассуждал так... по одному из свойств сравнений допустимо представить это выражение как

$$(p-1)! = (-1)(mod p)$$

$%(p-1)!$% - это есть ни что иное, как $%1 \ast 2 \ast 3 \ast ... \ast (p-1)$%, тогда, если с одним из множителей: $%(p-1)$% - сравнимо, то есть $%(p-1) = (-1)(mod p)$% (верно) (очевидно, так как $%p$% простое), то и факториал этого числа, содержащий данный множитель сравним с $%(-1)$% по модулю ($%p$%).

Я почти наверняка уверен, что где-то в рассуждениях есть ошибка, так как декан, давая задание, сказал, что придётся потрудиться, чтобы аккуратно и полно доказать данное выражение.

P.S. Заранее спасибо.

задан 25 Апр '12 6:35

изменен 26 Апр '12 12:14

DocentI's gravatar image


9.8k1040

10|600 символов нужно символов осталось
3

Да, есть ошибка. Если равенство $%(p-1)\equiv -1(\mod p)$%, умножить на какое-то число $%a$% ( в Вашем случае (p-2)!), оно примет вид $%(p-1)\cdot a\equiv -a(\mod p)$%. Тогда надо еще доказать, что $%a\equiv 1(\mod p)$%, что нисколько не легче.

Эта задача - известная в теории чисел теорема Вильсона. Ее доказательство есть в литературе, оно совсем не тривиальное. Но Вы все же постарайтесь подумать сами.

Кстати, $%(p-1)\equiv -1(\mod p)$% независимо от простоты/непростоты p. А теорема для непростых p не выполняется (проверьте!).

ссылка

отвечен 25 Апр '12 8:39

изменен 25 Апр '12 8:41

спасибо большое

(25 Апр '12 11:49) zhildemon
10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно доказать через малую теорему Ферма. Она полегче Теоремы Вильсона.

ссылка

отвечен 1 Дек '14 11:28

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,315
×606
×137

задан
25 Апр '12 6:35

показан
2424 раза

обновлен
1 Дек '14 23:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru