математика - Отношения $%φ$%, $%ψ$%, $%σ$% заданы на множестве $%X$%. Доказать что $%φ∗(ψ∪σ) = (φ∗ψ)∪(φ∗σ)$%

Надо доказать равенство двух множеств. Предположим, что пара $%(a,c)$% принадлежит отношению $%\varphi\circ(\psi\cup\sigma)$%. По определению композиции, существует элемент $%b\in X$% такой, что $%(a,b)\in\varphi$% и $%(b,c)\in\psi\cup\sigma$%. Последнее означает, что $%(b,c)\in\psi$% или $%(b,c)\in\sigma$%. В первом случае $%(a,c)\in\varphi\circ\psi$%, а во втором $%(a,c)\in\varphi\circ\sigma$%. Следовательно, в обоих случаях верно то, что $%(a,c)\in(\varphi\circ\psi)\cup(\varphi\circ\sigma)$%.

Мы этим доказали включение $%\varphi\circ(\psi\cup\sigma)\subseteq(\varphi\circ\psi)\cup(\varphi\circ\sigma)$%. Для доказательства равенства множеств остаётся доказать обратное включение. Это делается по точно такой же схеме: берётся пара $%(a,c)$% из второго множества, и при помощи аналогичных рассуждений устанавливается, что на принадлежит первому множеству.