|
В шаре радиуса $%R$% высверлена цилиндрическая дыра, ось которой проходит через центр шара. Радиус дыры равен $%R/2$%. В дыру вставлен цилиндр такого же радиуса и высоты $%H$% (может быть, $%H<2R$%, $%H=2R$%, $%H>2R$%). Цилиндр сделан из того же вещества, что и шар, а центр цилиндра совпадает с центром шара. Объём полученного тела равен $%666 \ м^3$%. При каких $%R$%, $%H$% полная поверхность тела: задан 13 Ноя '14 22:52 
gagarin |
|
Максимальной площади поверхности здесь достигнуть нельзя: она может принимать сколь угодно большие значения. Действительно, пусть $%R$% очень мало. Тогда можно пренебречь объёмом шара: фактически, у нас имеется цилиндр с объёмом, пропорциональным $%HR^2$%. Это значит, что $%H$% имеет порядок $%R^{-2}$%, а его боковая поверхность пропорциональна $%RH$%, то есть $%R^{-1}$%. При стремлении $%R$% к нулю площадь боковой поверхности стремится к бесконечности. Теперь пусть нас интересует минимальная поверхность, и при этом $%H < \sqrt3R$% (цилиндр не выходит за края отверстия). Тогда можно увеличить $%H$%, заменяя внутреннюю полую часть на выступающую внешнюю с сохранением площади полной поверхности. Объём при этом увеличивается, и можно применить преобразование подобия, уменьшая его до прежних размеров. Понятно, что площадь боковой поверхности уменьшится, то есть рассмотренный случай не даёт оптимального значения. Поэтому нас интересует случай $%H\ge\sqrt3R$%. Произведём некоторые подсчёты. Прежде всего, нетрудно вычислить объём шара с высверленным отверстием. Это можно сделать через объём фигуры вращения, как было описано в ответе @trongsund. Из найденной величины вычитаем объём выпиленного изнутри цилиндра, и получается $%\frac{\sqrt3\pi}2R^3$%. Отсюда объём тела равен $%V=\frac{\pi R^3}2(\sqrt3+k)$%, где $%k=\frac{H}{2R}\ge1$%. Теперь вычисляем площадь поверхности. У шара с отверстием площадь внешней поверхности равна $%2\sqrt3\pi R^2$%. К неё добавляется площадь боковой поверхности вставленного цилиндра и две площади оснований цилиндра. Получается $%S={\pi R^2}(2k+\sqrt3+\frac12)$%. Далее надо решить задачу минимизации $%S$% при фиксированном значении объёма, равном $%V_0$%. Выражая $%k$% через $%V_0$% и подставляя в формулу для $%S$%, получаем некоторую функцию от $%R$%. А именно, $%S=4V_0R^{-1}-(\sqrt3-\frac12)\pi R^2$%. Ясно, что это убывающая функция, то есть $%R$% надо брать максимально возможным. Это равносильно минимизации $%k$%, откуда $%k=\frac{\sqrt3}2$%. Исходя из этого, получается $%H=\sqrt[3]{\frac{4V_0}{\pi}}\approx9.465$% и $%R=H/\sqrt3\approx5.4647$%. Это соответствует случаю, когда цилиндр не выступает за пределы шара. отвечен 16 Ноя '14 11:03 
falcao И чему в итоге равна площадь?
(16 Ноя '14 16:33)
gagarin
@Алексей авт: у меня указаны значения для $%k$% и $%R$%, а $%S$% через них выражается. Формула есть в тексте.
(16 Ноя '14 16:40)
falcao
|
|
Легко понять из теоремы Пифагора, что высота кольца равна $%R\sqrt3.$% Интегрируя, получаем: $%\int\limits_{-R\sqrt3/2}^{R\sqrt3/2}\pi(R^2-x^2)dx=\pi R^3\cdot\dfrac{3\sqrt3}{4}.$% Площадь внешней поверхности такой фигуры равна $%\frac{\sqrt3}{2}\!\!S,$% где S - площадь исходной сферы. А поверхность и объём цилиндра, наверное, известно, как находить ) отвечен 14 Ноя '14 4:14 
trongsund |
Пожалуйста, очень нужно.
Ну люди, ответьте. Плиз.
Для начала найдите формулы объема шарового кольца и объема цилиндра, формулы для полной поверхности тела.
В том-то и дело, что не знаю как. Прошу помощи.