Можно ли правильный тетраэдр разрезать на несколько правильных тетраэдров?

задан 13 Ноя '14 23:02

10|600 символов нужно символов осталось
1

Набросок решения: тангенс двугранного угла правильного тетраэдра равен $%2\sqrt2$%. Достаточно доказать, что угол несоизмерим с $%\pi$%. Для этого достаточно проверить, что $%(\frac{1+2i\sqrt2}3)^n\ne1$% ни при каком натуральном $%n$%. Коэффициенты описываются рекуррентной последовательностью вида $%x_{n+2}=2x_{n+1}-9x_n$%, и из этого вроде бы всё должно следовать.

ссылка

отвечен 13 Ноя '14 23:56

А можно чуть подробнее между 1-м и 2-м предложением? Почему достаточно ...? И, если нетрудно, подробнее между 2-м и 3-м. Спасибо.

(14 Ноя '14 13:38) Lyudmyla
1

@Lyudmyla: к грани большого тетраэдра примыкает какая-то грань маленького. Рассматриваем ещё одну грань маленького; к неё примыкает что-то ещё. И так далее, пока не получится развёрнутый угол. Он состоит из нескольких двугранных.

Если угол $%\phi$% соизмерим с $%\pi$%, то $%n\phi$% кратно $%2\pi$% для некоторого натурального $%n$%. При этом $%(\cos\phi+i\sin\phi)^n=1$%, а косинус и синус двугранного угла правильного тетраэдра равны $%1/3$% и $%2\sqrt2/3$% соответственно.

(14 Ноя '14 13:47) falcao
1

Между 1-м и 2-м предложением:

Предположим, что правильный тетраэдр можно разрезать на несколько правильных тетраэдров. Тогда найдётся "малый" тетраэдр, ребро которого будет находиться на грани большого тетраэдра и не лежать на ребре большого тетраэдра. Рассмотри двухгранные углы при таком ребре.

(14 Ноя '14 13:48) EdwardTurJ

Попробую подумать об этом еще. Спасибо!!!

(14 Ноя '14 15:16) Lyudmyla
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×470
×44
×24

задан
13 Ноя '14 23:02

показан
1430 раз

обновлен
14 Ноя '14 15:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru