|
Можно ли правильный тетраэдр разрезать на несколько правильных тетраэдров? задан 13 Ноя '14 23:02 
EdwardTurJ |
|
Набросок решения: тангенс двугранного угла правильного тетраэдра равен $%2\sqrt2$%. Достаточно доказать, что угол несоизмерим с $%\pi$%. Для этого достаточно проверить, что $%(\frac{1+2i\sqrt2}3)^n\ne1$% ни при каком натуральном $%n$%. Коэффициенты описываются рекуррентной последовательностью вида $%x_{n+2}=2x_{n+1}-9x_n$%, и из этого вроде бы всё должно следовать. отвечен 13 Ноя '14 23:56 
falcao А можно чуть подробнее между 1-м и 2-м предложением? Почему достаточно ...? И, если нетрудно, подробнее между 2-м и 3-м. Спасибо.
(14 Ноя '14 13:38)
Lyudmyla
1
@Lyudmyla: к грани большого тетраэдра примыкает какая-то грань маленького. Рассматриваем ещё одну грань маленького; к неё примыкает что-то ещё. И так далее, пока не получится развёрнутый угол. Он состоит из нескольких двугранных. Если угол $%\phi$% соизмерим с $%\pi$%, то $%n\phi$% кратно $%2\pi$% для некоторого натурального $%n$%. При этом $%(\cos\phi+i\sin\phi)^n=1$%, а косинус и синус двугранного угла правильного тетраэдра равны $%1/3$% и $%2\sqrt2/3$% соответственно.
(14 Ноя '14 13:47)
falcao
1
Между 1-м и 2-м предложением: Предположим, что правильный тетраэдр можно разрезать на несколько правильных тетраэдров. Тогда найдётся "малый" тетраэдр, ребро которого будет находиться на грани большого тетраэдра и не лежать на ребре большого тетраэдра. Рассмотри двухгранные углы при таком ребре.
(14 Ноя '14 13:48)
EdwardTurJ
Попробую подумать об этом еще. Спасибо!!!
(14 Ноя '14 15:16)
Lyudmyla
|