стереометрия - Доказать, что тетраэдр правильный, если сумма его рёбер равна $%4\sqrt 6 R$%

Пускай $%A_1,\ldots,A_n$% - произвольные точки в пространстве, $%G$% - их центроид. Для любой точки $%M$% имеём: $%n\cdot\overrightarrow {MG}=\sum\limits_{k=1}^n{\overrightarrow {MA_k}}$%, или после возведения в квадрат: $%n^2\cdot MG^2=n\cdot \sum\limits_{k=1}^n {MA_k^2}-\sum\limits_{i>j}^n{A_iA_j^2}$%.

Если точки $%A_1,\ldots,A_n$% лежат на одной сфере радиуса $%R$%, то, взяв в качестве точки $%M$% центр сферы, получим $%\sum\limits_{i>j}^n {A_iA_j^2} =n^2R^2-n^2 \cdot MG^2 \le n^2R^2$%, отсюда $%\sum\limits_{i>j}^n {A_iA_j} \le \sqrt {C_n^2 \cdot \sum\limits_{i>j}^n {A_iA_j^2}}=\sqrt {C_n^2 \cdot n^2R^2}=nR\sqrt {\frac{{n(n-1)}}{2}}$%. Из неравенства между средним арифметическим и средним квадратическим следует, что тетраэдр правильный.