функциональное_уравнение - Функциональное уравнение $%f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) + 2f(y)$%

Полагая $%x=y=0$%, имеем $%f(0)=0$%. Теперь при $%x=0$% как следствие получится $%f(-y)=f(y)$%, то есть функция чётна. Индукцией по $%n\in\mathbb N$% доказываем, что $%f(nz)=n^2f(z)$%. База очевидна, а шаг получается на основании $%x=nz$%, $%y=z$%. Подставляя $%z=\frac1n$%, имеем $%f(\frac1n)=\frac{a}{n^2}$%, где $%a=f(1)$%. Отсюда следует, что $%f(\frac{m}n)=m^2f(\frac1n)=a\cdot(\frac{m}n)^2$% для любых натуральных $%m,n$%. Это значит, что $%f(x)=ax^2$% для всех положительных рациональных чисел. Для нуля это тоже верно, и для отрицательных верно в силу чётности. Все функции этого вида удовлетворяют тождеству; $%a\in\mathbb R$% произвольно.