функциональное_уравнение - Функциональное уравнение $%3f(x+y+z)+f(-x+y+z)+f(x-y+z)+\dots$%

Пускай $%P(x,y,z)$% - свойство $%3f(x+y+z)+f(−x+y+z)+f(x−y+z)+f(x+y−z)+$% $%+4f(x)+4f(y)+4f(z)=4f(x+y)+4f(y+z)+4f(z+x)$%.

$%P(0,0,0)\Rightarrow f(0) = 0$%.

$%P(x,0,0)\Rightarrow f(-x)=-f(x)$%.

$%P(x,x,x)\Rightarrow f(3x)=4f(2x)-5f(x)$%.

Индукцией для $%n\ge0$% докажем, что $%f(nx) = \frac{{{n^3} - n}}{6}f(2x) - \frac{{{n^3} - 4n}}{3}f(x)$%.

Для $%n\le3$% равенство (3) выполняется. $%P(x,x,(n-1)x)\Rightarrow f((n+1)x)= \frac{{(n+1)^3}-(n+1)}{6}f(2x)+\frac{(n+1)^3-4(n+1)}{3}f(x).$%

Далее выразим $%f(2nx)$% через $%f(nx)$% и $%f(x)$%. Для этого сначала находим: $%f(2x)=\frac{6}{n^3-n}f(nx)+2\frac{n^2-4}{n^2-1}f(x)$%.

Заменив в доказанном тожестве $%n$% на $%2n$% получим: $%f(2nx)=\frac{8n^3-2n}{6}\left( {\frac{6}{n^3-n}f(nx)+2\frac{n^2-4}{n^2-1}f(x)}\right)- \frac{8n^3-8n}{3}f(x)=\frac{8n^2-2}{n^2-1}f(nx)-\frac{6n^3}{n^2-1}f(x)$%.

Заменим в $%x$% на $%\frac{m}{n}x$%:

$%f(2mx)=\frac{8n^2-2}{n^2-1}f(mx)-\frac{6n^3}{n^2-1}f\left( {\frac{m}{n}x} \right)$%.

Выразив $%f(2mx)$% и $%f(mx)$% через $%f(2x)$% и $%f(x)$% после упрощений получим:

$%f\left( {\frac{m}{n}x} \right)=\frac{{{{\left( {\frac{m}{n}} \right)}^3}-\frac{m}{n}}}{6}f(2x)-\frac{{{{\left( {\frac{m}{n}} \right)}^3}-4\frac{m}{n}}}{3}f\left( x \right)$%.

Из последнего получим равенство $%f(rx)=\frac{r^3-r}{6}f(2x)-\frac{r^3-4r}{3}f(x)$% для всех рациональных $%r$%. Итак, для всех $%r \in Q$% $%f(r)=ar^3+br$%, где $%a=-\frac{1}{3}f(1)+\frac{1}{6}f(2)$%, $%b=\frac{4}{3}f(1) - \frac{1}{6}f(2)$%.

Проверкой убеждаемся, что $%f(х)=ax^3+bx$% - решение нашего уравнения.