дифференциальные-уравнения - Найти интегральную кривую

Пояснение к решению ASailyan

$%1. \ \ \ \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge y = e^{rx} \wedge y'' - 3y' + 2y = 0 $%

$% \Rightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (e^{rx})'' - 3 \cdot (e^{rx})' + 2 \cdot e^{rx} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge r^2 \cdot e^{rx} - 3r \cdot e^{rx} + 2 \cdot e^{rx} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (r^2 - 3r + 2) \cdot e^{rx} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge ( r^2 - 3r + 2 = 0 \vee e^{rx} = 0) $%

$% \Leftrightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge ((r - 1) \cdot (r - 2) = 0 \vee e^{rx} = 0) $%

$% \Leftrightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (e^{rx} \neq 0 \rightarrow (r - 1) \cdot (r - 2) = 0) $%

$% \Leftrightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (e^{rx} \neq 0 \rightarrow r - 1 = 0 \vee r - 2 = 0) \wedge \mathrm{True}$%

$% \Leftrightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (e^{rx} \neq 0 \rightarrow r = 1 \vee r = 2) \wedge \forall p \forall z (\{p, z\} \subseteq \mathbb{R} \rightarrow e^{p \cdot z} \neq 0)$%

$% \Rightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (e^{rx} \neq 0 \rightarrow r \in \{1, 2\}) \wedge (\{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \rightarrow e^{rx} \neq 0)$%

$% \Leftrightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (\{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \rightarrow e^{rx} \neq 0) \wedge (e^{rx} \neq 0 \rightarrow r \in \{1, 2\}) $%

$% \Rightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (\{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \rightarrow r \in \{1, 2\}) $%

$% \Rightarrow r \in \{1, 2\}$%

$%2. \ \ \ \{c_1, c_2, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge y = c_1e^x + c_2e^{2x} \wedge y'' - 3y' + 2y = 0 $%

$% \Leftrightarrow \ ... \ \wedge (c_1e^x + c_2e^{2x})'' - 3(c_1e^x + c_2e^{2x})' + 2(c_1e^x + c_2e^{2x}) = 0 $%

$% \Leftrightarrow \ ... \ \wedge c_1(e^x)'' + c_2(e^{2x})'' - 3(c_1(e^x)' + c_2(e^{2x})') + 2(c_1e^x + c_2e^{2x}) = 0 $%

$% \Leftrightarrow \ ... \ \wedge c_1(e^x)'' - 3c_1(e^x)' + 2c_1e^x + c_2(e^{2x})'' - 3c_2(e^{2x})' + 2c_2e^{2x} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \ ... \ \wedge c_1 \cdot ((e^x)'' - 3(e^x)' + 2e^x) + c_2 \cdot ((e^{2x})'' - 3(e^{2x})' + 2e^{2x}) = 0 $%

$% \Leftrightarrow \ ... \ \wedge c_1 \cdot (1^2 \cdot e^x - 3 \cdot 1^1 \cdot e^x + 2 \cdot 1^0 \cdot e^x) + c_2 \cdot (2^2 \cdot e^{2x} - 3 \cdot 2^1 \cdot e^{2x} + 2 \cdot 2^0 \cdot e^{2x}) = 0 $%

$% \Leftrightarrow \ ... \ \wedge c_1 \cdot (1 - 3 + 2) \cdot e^x + c_2 \cdot (4 - 6 + 2) \cdot e^{2x} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \ ... \ \wedge c_1 \cdot 0 \cdot e^x + c_2 \cdot 0 \cdot e^{2x} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \ ... \ \wedge 0 = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{c_1, c_2, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge y = c_1e^x + c_2e^{2x} \wedge \mathrm{True} $%

$% \Leftrightarrow \{c_1, c_2, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge y = c_1e^x + c_2e^{2x} $%

$%3. \ \ \ \{a, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge y = ae^{-x} \wedge y'' - 3y' + 2y = 30e^{-x} $%

$% \Rightarrow \{a, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (ae^{-x})'' - 3(ae^{-x})' + 2ae^{-x} - 30e^{-x} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{a, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge a(e^{-x})'' - 3a(e^{-x})' + 2ae^{-x} - 30e^{-x} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{a, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge a \cdot ((e^{-x})'' - 3(e^{-x})' + 2e^{-x}) - 30e^{-x} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{a, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge a \cdot (e^{-x} + 3e^{-x} + 2e^{-x}) - 30e^{-x} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{a, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge a \cdot (1 + 3 + 2) \cdot e^{-x} - 30e^{-x} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{a, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (6a - 30) \cdot e^{-x} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{a, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (6a - 30 = 0 \vee e^{-x} = 0) $%

$% \Leftrightarrow a \in \mathbb{R} \wedge x \in \mathbb{R} \wedge (e^{-x} \neq 0 \rightarrow a = 5) \wedge \mathrm{True} $%

$% \Rightarrow x \in \mathbb{R} \wedge (e^{-x} \neq 0 \rightarrow a = 5) \wedge \forall z (z \in \mathbb{R} \rightarrow e^{-z} \neq 0) $%

$% \Rightarrow x \in \mathbb{R} \wedge (e^{-x} \neq 0 \rightarrow a = 5) \wedge (x \in \mathbb{R} \rightarrow e^{-x} \neq 0) $%

$% \Rightarrow a = 5$%

$%4. \ \ \ \{c_1, c_2, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge y = c_1e^x + c_2e^{2x} + 5e^{-x} \wedge y'' - 3y' + 2y = 30e^{-x} $%

$% \Leftrightarrow \{c_1, c_2, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge y = c_1e^x + c_2e^{2x} + 5e^{-x}$%

Аналогично п. 2.

$%5. \ \ \ \{c_1, c_2\} \subseteq \mathbb{R} \wedge x = 0 \wedge y(x) = c_1e^x + c_2e^{2x} + 5e^{-x} \wedge y(0) = 2 \wedge y'(0) = -17 $%

$%\Rightarrow \{c_1, c_2\} \subseteq \mathbb{R} \wedge x = 0 \wedge y(x) = c_1e^x + c_2e^{2x} + 5e^{-x} \wedge y(0) = 2 \wedge y'(0) = -17 \wedge y'(x) = c_1e^x + 2c_2e^{2x} - 5e^{-x}$%

$%\Rightarrow \{c_1, c_2\} \subseteq \mathbb{R} \wedge y(0) = c_1e^0 + c_2e^{2 \cdot 0} + 5e^{-0} \wedge y(0) = 2 \wedge y'(0) = -17 \wedge y'(0) = c_1e^0 + 2c_2e^{2 \cdot 0} - 5e^{-0}$%

$%\Rightarrow \{c_1, c_2\} \subseteq \mathbb{R} \wedge y(0) = c_1 + c_2 + 5 \wedge y(0) = 2 \wedge y'(0) = -17 \wedge y'(0) = c_1 + 2c_2 - 5$%

$%\Rightarrow \{c_1, c_2\} \subseteq \mathbb{R} \wedge 2 = c_1 + c_2 + 5 \wedge -17 = c_1 + 2c_2 - 5$%

$%\Leftrightarrow \begin {cases} \langle c_1, c_2 \rangle \in \mathbb{R}^2 \\ c_1 + c_2 = - 3 \\ c_1 + 2c_2 = - 12 \end {cases}$%

$%\Rightarrow \langle c_1, c_2 \rangle = \langle 6, -9 \rangle $%