0
1
  1. Найти интегральную кривую уравнения в полных дифференциалах, проходящую через точку Мо(Хо, Уо); $$(y2^x ln2+2xy^3)dx+(2^x+2xy^3)dy=0;$$ $$Mo (0;4)$$

  2. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. $$y’’-3y’+2y=30e^{-x};$$ $$y(0)=2 ; y’(0)=-17$$

задан 25 Апр '12 20:59

изменен 27 Май '13 19:30

Angry%20Bird's gravatar image


9125

2

@Алёна, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.

(26 Апр '12 0:21) DocentI

Проверьте первое уравнение,левая часть не полный дифференциал.Не выполняется необходимое условие полного дифференциала.

(26 Апр '12 21:13) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
0

2) Характеристическое уравнение $% r^{2}-3r+2=0$% имеет корни $% r_{1}=1, r_{2}=2 $%. Значит общее решение соответствующего уравнения без правой части будет имет вид $% y= c_{1}e^{x}+c_{2}e^{2x}$%. А частное решение данного уравнения ищем в виде $% y=A e^{-x}$% , и отыскаем постоянная A, поставляя значения $% y, y'=-Ae^{-x},y''=Ae^{-x}$% в уравнение, получим $% Ae^{-x}+3Ae^{-x}+2A e^{-x}=30 e^{-x}$%, откуда $% A=5$%. Следовательно, частным решением данного уравнения будет функция $% y=5e^{-x}$% ,а общим $% y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{2x}+5e^{-x}$%. Теперь находим по начальным условиям требуемое частное решение.

Для этого найдем $% y'=c_1e^{x}+2c_2e^{2x}-5e^{-x}$%. Тогда $% \begin{cases}c_1+c_2 +5= 2\\c_1+2c_2-5=-17\end{cases}$%, откуда $% c_1=6, c_2=-9$%. Значит частное решение будет функция $% y=6e^x-9e^{2x}+5e^{-x}$% .

Ответ. $% y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{2x}+5e^{-x}$%
$% y=6e^x-9e^{2x}+5e^{-x}$%

ссылка

отвечен 29 Апр '12 1:40

изменен 29 Апр '12 22:03

DocentI's gravatar image


9.8k837

спасибо большое

(29 Апр '12 13:10) Алёна
10|600 символов нужно символов осталось
0

Пояснение к решению ASailyan

$%1. \ \ \ \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge y = e^{rx} \wedge y'' - 3y' + 2y = 0 $%

$% \Rightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (e^{rx})'' - 3 \cdot (e^{rx})' + 2 \cdot e^{rx} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge r^2 \cdot e^{rx} - 3r \cdot e^{rx} + 2 \cdot e^{rx} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (r^2 - 3r + 2) \cdot e^{rx} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge ( r^2 - 3r + 2 = 0 \vee e^{rx} = 0) $%

$% \Leftrightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge ((r - 1) \cdot (r - 2) = 0 \vee e^{rx} = 0) $%

$% \Leftrightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (e^{rx} \neq 0 \rightarrow (r - 1) \cdot (r - 2) = 0) $%

$% \Leftrightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (e^{rx} \neq 0 \rightarrow r - 1 = 0 \vee r - 2 = 0) \wedge \mathrm{True}$%

$% \Leftrightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (e^{rx} \neq 0 \rightarrow r = 1 \vee r = 2) \wedge \forall p \forall z (\{p, z\} \subseteq \mathbb{R} \rightarrow e^{p \cdot z} \neq 0)$%

$% \Rightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (e^{rx} \neq 0 \rightarrow r \in \{1, 2\}) \wedge (\{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \rightarrow e^{rx} \neq 0)$%

$% \Leftrightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (\{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \rightarrow e^{rx} \neq 0) \wedge (e^{rx} \neq 0 \rightarrow r \in \{1, 2\}) $%

$% \Rightarrow \{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (\{r, x\} \subseteq \mathbb{R} \rightarrow r \in \{1, 2\}) $%

$% \Rightarrow r \in \{1, 2\}$%

$%2. \ \ \ \{c_1, c_2, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge y = c_1e^x + c_2e^{2x} \wedge y'' - 3y' + 2y = 0 $%

$% \Leftrightarrow \ ... \ \wedge (c_1e^x + c_2e^{2x})'' - 3(c_1e^x + c_2e^{2x})' + 2(c_1e^x + c_2e^{2x}) = 0 $%

$% \Leftrightarrow \ ... \ \wedge c_1(e^x)'' + c_2(e^{2x})'' - 3(c_1(e^x)' + c_2(e^{2x})') + 2(c_1e^x + c_2e^{2x}) = 0 $%

$% \Leftrightarrow \ ... \ \wedge c_1(e^x)'' - 3c_1(e^x)' + 2c_1e^x + c_2(e^{2x})'' - 3c_2(e^{2x})' + 2c_2e^{2x} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \ ... \ \wedge c_1 \cdot ((e^x)'' - 3(e^x)' + 2e^x) + c_2 \cdot ((e^{2x})'' - 3(e^{2x})' + 2e^{2x}) = 0 $%

$% \Leftrightarrow \ ... \ \wedge c_1 \cdot (1^2 \cdot e^x - 3 \cdot 1^1 \cdot e^x + 2 \cdot 1^0 \cdot e^x) + c_2 \cdot (2^2 \cdot e^{2x} - 3 \cdot 2^1 \cdot e^{2x} + 2 \cdot 2^0 \cdot e^{2x}) = 0 $%

$% \Leftrightarrow \ ... \ \wedge c_1 \cdot (1 - 3 + 2) \cdot e^x + c_2 \cdot (4 - 6 + 2) \cdot e^{2x} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \ ... \ \wedge c_1 \cdot 0 \cdot e^x + c_2 \cdot 0 \cdot e^{2x} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \ ... \ \wedge 0 = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{c_1, c_2, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge y = c_1e^x + c_2e^{2x} \wedge \mathrm{True} $%

$% \Leftrightarrow \{c_1, c_2, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge y = c_1e^x + c_2e^{2x} $%

$%3. \ \ \ \{a, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge y = ae^{-x} \wedge y'' - 3y' + 2y = 30e^{-x} $%

$% \Rightarrow \{a, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (ae^{-x})'' - 3(ae^{-x})' + 2ae^{-x} - 30e^{-x} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{a, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge a(e^{-x})'' - 3a(e^{-x})' + 2ae^{-x} - 30e^{-x} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{a, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge a \cdot ((e^{-x})'' - 3(e^{-x})' + 2e^{-x}) - 30e^{-x} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{a, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge a \cdot (e^{-x} + 3e^{-x} + 2e^{-x}) - 30e^{-x} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{a, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge a \cdot (1 + 3 + 2) \cdot e^{-x} - 30e^{-x} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{a, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (6a - 30) \cdot e^{-x} = 0 $%

$% \Leftrightarrow \{a, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge (6a - 30 = 0 \vee e^{-x} = 0) $%

$% \Leftrightarrow a \in \mathbb{R} \wedge x \in \mathbb{R} \wedge (e^{-x} \neq 0 \rightarrow a = 5) \wedge \mathrm{True} $%

$% \Rightarrow x \in \mathbb{R} \wedge (e^{-x} \neq 0 \rightarrow a = 5) \wedge \forall z (z \in \mathbb{R} \rightarrow e^{-z} \neq 0) $%

$% \Rightarrow x \in \mathbb{R} \wedge (e^{-x} \neq 0 \rightarrow a = 5) \wedge (x \in \mathbb{R} \rightarrow e^{-x} \neq 0) $%

$% \Rightarrow a = 5$%

$%4. \ \ \ \{c_1, c_2, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge y = c_1e^x + c_2e^{2x} + 5e^{-x} \wedge y'' - 3y' + 2y = 30e^{-x} $%

$% \Leftrightarrow \{c_1, c_2, x\} \subseteq \mathbb{R} \wedge y = c_1e^x + c_2e^{2x} + 5e^{-x}$%

Аналогично п. 2.

$%5. \ \ \ \{c_1, c_2\} \subseteq \mathbb{R} \wedge x = 0 \wedge y(x) = c_1e^x + c_2e^{2x} + 5e^{-x} \wedge y(0) = 2 \wedge y'(0) = -17 $%

$%\Rightarrow \{c_1, c_2\} \subseteq \mathbb{R} \wedge x = 0 \wedge y(x) = c_1e^x + c_2e^{2x} + 5e^{-x} \wedge y(0) = 2 \wedge y'(0) = -17 \wedge y'(x) = c_1e^x + 2c_2e^{2x} - 5e^{-x}$%

$%\Rightarrow \{c_1, c_2\} \subseteq \mathbb{R} \wedge y(0) = c_1e^0 + c_2e^{2 \cdot 0} + 5e^{-0} \wedge y(0) = 2 \wedge y'(0) = -17 \wedge y'(0) = c_1e^0 + 2c_2e^{2 \cdot 0} - 5e^{-0}$%

$%\Rightarrow \{c_1, c_2\} \subseteq \mathbb{R} \wedge y(0) = c_1 + c_2 + 5 \wedge y(0) = 2 \wedge y'(0) = -17 \wedge y'(0) = c_1 + 2c_2 - 5$%

$%\Rightarrow \{c_1, c_2\} \subseteq \mathbb{R} \wedge 2 = c_1 + c_2 + 5 \wedge -17 = c_1 + 2c_2 - 5$%

$%\Leftrightarrow \begin {cases} \langle c_1, c_2 \rangle \in \mathbb{R}^2 \\ c_1 + c_2 = - 3 \\ c_1 + 2c_2 = - 12 \end {cases}$%

$%\Rightarrow \langle c_1, c_2 \rangle = \langle 6, -9 \rangle $%

ссылка

отвечен 29 Апр '12 16:12

изменен 12 Май '12 12:01

Это пояснение? Ну-ну...

(29 Апр '12 21:26) DocentI

действительно не понятен 2 ответ

(29 Апр '12 21:59) Алёна

После Галактиона стало понятнее? @Алёна, подумайте сами, не ждите полного ответа, здесь помогают людям понять, а не сдать контрольную!

(29 Апр '12 22:02) DocentI
1

Нет,я сама всё решила,потом посмотрела ваше решение и сравнивала,ответ совпал. Спасибо!!

(29 Апр '12 23:02) Алёна

Решение не мое, а Амалии Саилян

(29 Апр '12 23:06) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×676

задан
25 Апр '12 20:59

показан
1897 раз

обновлен
12 Май '12 12:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru