|
У любого ли счётного ординала существует вещественное представление, т.е. строго монотонное отображение в $%\mathbb R$% ? Рад бы узнать хотя бы литературу по этой теме... задан 14 Ноя '14 22:05 
trongsund |
|
Верен более общий факт: всякое линейно упорядоченное счётное множество вложимо в $%{\mathbb Q}$% с сохранением порядка. Полный порядок (well-order) при этом не обязателен. Отображение строится по индукции. Элементы упорядоченного множества у нас занумерованы натуральными числами; пусть $%<$% есть строгий порядок. Отображаем $%x_1$% куда угодно -- скажем, в $%0$%. Пусть элементы $%x_1$%, ... , $%x_n$% уже вложены в $%{\mathbb Q}$% с сохранением порядка. Смотрим на то, как относительно них расположен $%x_{n+1}$%. Если он расположен между соседями $%x_i < x_j$%, то располагаем его посередине. Если он больше всех, то ставим его в точку, которая на единицу больше точки расположения наибольшего элемента. Аналогично для наименьшего. отвечен 14 Ноя '14 23:40 
falcao |