|
Понятно, что определитель может равняться нулю, но чему он может равняться еще? Правильно я понимаю, что здесь надо пытаться привести ее к треугольному виду? задан 14 Ноя '14 22:14 
Leva319 |
|
Тут надо все возможные случаи описать. Для матриц порядка 1 может быть 0 или 1. Для матриц порядка 2 возможны ответы $%0$% и $%\pm1$%. Примеры достаточно очевидны. Для матриц порядка $%n > 2$% также есть соответствующие примеры. Осталось доказать, что при $%n\ge2$% ничего другого не бывает. Если первый столбец нулевой, то определитель равен нулю. Если он ненулевой, то в первом столбце есть единицы. Допустим, что такая единица не одна. Возьмём ту строку, в которой число единиц максимальное (они все идут подряд). Вычтем тогда из неё какую-то другую строку с единицей в первом столбце. Определитель при таком преобразовании не меняется, а матрица удовлетворяет всё тем же условиям: если было $%m$% единиц с начала, а мы вычли строку с $%k$% единицами в начале, то $%m\ge k$%, и получится строка, где $%m-k$% единиц идут подряд (возможно, что $%m=k$%, и тогда определитель равен нулю). Делая так несколько раз, мы добиваемся того, что единица в первом столбце останется одна. Тогда разложим определитель по первому столбцу. Единица со знаком "плюс" или "минус" умножится на минор, который удовлетворяет всем условиям задачи, и по предположению индукции он равен $%0$% или $%\pm1$%. Значит, и наш определитель может принимать только такие значения. отвечен 14 Ноя '14 22:59 
falcao |
|
Рассмотрим самый левый ненулевой столбец матрицы (он будет и вообще самым левым, если определитель не равен 0) и поступим следующим образом: 1) Вычтем его из всех столбцов, лежащих правее и содержащих на тех же строчках единицы. После этого останется по крайней мере одна строчка с начальной единицей и всеми остальными нулями, причём матрица без первого столбца по-прежнему обладает свойством в условии. 2) Вычтем её из всех остальных строк, которые начинаются на единицу. Алгебраическое дополнение до оставшейся единицы - квадратная матрица, обладающая тем же свойством, что и исходная. Т.к. определитель исходной матрицы не изменился, он равен $%\pm1\cdot \delta_{n-1},$% где $%\delta_{n-1}-\:$%определитель алгебраического дополнения. Т.к. определитель матрицы $%1\times1$% с указанным свойством равен либо 0, либо 1, определитель исходной матрицы равен либо 0, либо 1, либо -1. отвечен 14 Ноя '14 23:01 
trongsund |