|
Исследовать ряд на сходимость $$ \sum^{\infty}_{n=1} \frac{\ln^3 n}{n} \sin \frac{\pi n}{6} $$ задан 15 Ноя '14 11:38 
ssh |
|
Нужно применить признак Дирихле сходимости рядов. Ряд имеет форму $%\sum_na_nb_n$%, где частичные суммы вида $%\sum_{k=1}^nb_k$% равномерно ограничены. В данном случае это следует из факта периодичности последовательности $%b_n=\sin\frac{\pi n}6$%. Далее, последовательность $%a_n=\frac{\ln^3n}n$% монотонно убывает начиная с некоторого номера $%n_0$%, что проще всего обосновать, рассмотрев функцию $%f(x)=\frac{\ln^3x}x$% и найдя её производную. Получится $%f'(x)=\frac{\ln^2x}{x^2}(3-\ln x) < 0$% при $%x > e^3$%. Таким образом, ряд сходится по признаку Дирихле. отвечен 15 Ноя '14 14:15 
falcao |