математический-анализ - Сходится ли ряд $%\sum^{\infty}_{n=1} e^{-\sqrt[3]{n}}$%

Это несложный пример. Здесь надо осознать, что экспонента растёт очень быстро, даже если показатель степени равен не $%n$%, а какому-то корню из $%n$%.

Достаточно сравнить члены этого ряда с каким-то рядом, сходимость которого нам известна -- например, с рядом из величин, обратных квадратам (такой ряд сходится, например, по интегральному признаку). Достаточно доказать неравенство $%e^{\sqrt[3]n} > n^2$% для достаточно больших $%n$%. Полагая $%n=z^3$%, получаем неравенство $%e^z > z^6$%, а оно верно при всех $%z > z_0$% для некоторого фиксированного $%z_0$%, так как экспонента растёт быстрее любой степени (на этот известный факт надо просто сослаться). Тогда $%e^{-\sqrt[3]n} < n^{-2}$% при $%n > n_0$%, и всё далее следует из признака сравнения.