Исследовать на сходимость $$\sum^{\infty}_{n=1} e^{-\sqrt[3]{n}}$$

задан 15 Ноя '14 11:43

10|600 символов нужно символов осталось
2

Это несложный пример. Здесь надо осознать, что экспонента растёт очень быстро, даже если показатель степени равен не $%n$%, а какому-то корню из $%n$%.

Достаточно сравнить члены этого ряда с каким-то рядом, сходимость которого нам известна -- например, с рядом из величин, обратных квадратам (такой ряд сходится, например, по интегральному признаку). Достаточно доказать неравенство $%e^{\sqrt[3]n} > n^2$% для достаточно больших $%n$%. Полагая $%n=z^3$%, получаем неравенство $%e^z > z^6$%, а оно верно при всех $%z > z_0$% для некоторого фиксированного $%z_0$%, так как экспонента растёт быстрее любой степени (на этот известный факт надо просто сослаться). Тогда $%e^{-\sqrt[3]n} < n^{-2}$% при $%n > n_0$%, и всё далее следует из признака сравнения.

ссылка

отвечен 15 Ноя '14 13:46

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,991
×838
×446
×295

задан
15 Ноя '14 11:43

показан
737 раз

обновлен
15 Ноя '14 16:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru