геометрия - Что из перечисленного верно?

Б) Очевидно, неверно. Ей достаточно сделать четыре движения вида $%(x, y)\mapsto(-y, x)$% (это четыре поворота на 90 градусов), и черепаха вернётся назад.

А) Нет. Понятно, что ей нужно будет совершить хотя бы раз движение $%(x, y)\mapsto(x+y/2, x-y/2)$% либо $%(x, y)\mapsto(x-y/2, x+y/2).$% После того, как она в первый раз совершит такое движение, её координаты будут по величине либо 25 и 55, либо 50 и 10. И у той, и у другой пары чисел вхождение двойки как в рациональное число одинаково (в первом случае - 0, во втором - 1).

Докажем, что при каждом применении второго или третьего движения вхождение двойки уменьшается на единицу.

В самом деле, тогда $%(a\cdot 2^n,b\cdot 2^n)\mapsto((2a\pm b)\cdot2^{n-1}, (2a\mp b)\cdot2^{n-1}),$% где $%a, b-$% нечётно-рациональные числа (т.е. которые можно умножить на целое нечётное число и получить целое нечётное). Т.к. $%2a\pm b-$% числа тоже нечётно-рациональные, лемма доказана. Из неё следует, что и с помощью второго и третьего движений мы (30, 40) не получим.

В) Ответ да.

Путём применения в начале первого движения получим $%|x|<|y|.$% Дальше будем двигаться следующим образом:

1) Пусть $%|x_i|\leqslant\frac1 2|y_i|.$% Тогда применим преобразование 2, если $%x$% и $%y$% разных знаков, или 3 если одного, чтобы $%|x_{i+1}\!|<|y_{i+1}\!|.$% Пусть $%\vec r_i=(x_i, y_i),\space |x_i|=a|y_i|.$% Тогда $%|\vec r_i|=\sqrt{(1+a^2)y_i^2},|\vec r_{i+1}\!|=\sqrt{(2a^2+\frac1 2)y_i^2},\space \dfrac{|\vec r_{i+1}\!|}{|\vec r_i|}\leqslant\dfrac{2}{\sqrt5}<1.$%

2) Пусть $%|x_i|>\frac1 2|y_i|.$% Тогда применим то же преобразование, что и в пункте 1, тогда $%\dfrac{|\vec r_{i+1}\!|}{|\vec r_i|}\leqslant \dfrac{\sqrt5}{2}.$% Но вместе с тем $%|x_{i+1}\!|\leqslant\frac1 3|y_{i+1}\!|,$% поэтому, применив ещё раз пункт 1, получаем $%\dfrac{|\vec r_{i+2}|}{|\vec r_i|}\leqslant\dfrac{\sqrt5}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{13}{20}}=\dfrac{\sqrt13}{4}<1.$%

Итого получаем последовательность координат черепахи, из которой можно выделить подпоследовательность, ограниченную сверху по модулю убывающей геометрической прогрессией, а значит, стремящуюся к началу координат.