|
Помогите, пожалуйста: Доказать формулу: $%\sqrt{a^2+x}=a+ \frac{x}{2a} -r$% где a>0, x>0 и $%0<r<\frac{x^3}{8a^3}$% Заранее большое спасибо. P.S. прошу прощения, забыл приписать условие на r задан 16 Ноя '14 2:29 
Snaut |
|
В таком виде всё понятно. Правда, верхняя граница для $%r$% должна иметь вид $%\frac{x^2}{8a^3}$%. Здесь всё проверяется возведением в квадрат. Во-первых, $%(a+\frac{x}{2a})^2=a^2+x+\frac{x^2}{4a^2} > a^2+x$%, откуда $%r > 0$%. Далее, $%(a+\frac{x}{2a}-\frac{x^2}{8a^3})^2=a^2+x-\frac{x^3}{8a^4}+\frac{x^4}{64a^6} < a^2+x$% при $%x < 8a^2$%, и это даёт второе неравенство. Ограничение $%x < 8a^2$% нужно для доказательства, и его разумно добавить, потому что сами эти неравенства нужны для нахождения приближённых значений квадратных корней, и тогда $%x$% должно быть достаточно малым. Понятно, что уже при $%x\ge3a^2$% имело бы смысл выделять не $%a^2$%, а $%4a^2$%. отвечен 16 Ноя '14 14:25 
falcao |
Тут условие не дописано. Буква $%r$% участвует всего один раз.