|
Доказать, что для произвольного натурального $%n$% найдётся ненулевой многочлен с коэффициентами $%-1,0,1$%, делящийся на $%(x-1)^n$%. задан 16 Ноя '14 11:20 
EdwardTurJ |
|
$%(x-1)(x^2-1)(x^4-1)\ldots(x^{2^{n-1}}-1)$% делится на $%(x-1)^n$%; его степень меньше $%2^n$%, поэтому при умножении далее на $%x^{2^n}$% коэффициенты сдвигаются достаточно далеко, и после домножения на $%x^{2^n}-1$% они по-прежнему будут принимать значения $%-1,0,1$% (индукция). отвечен 16 Ноя '14 11:49 
falcao @falcao: Хорошая конструкция. Я же доказывал существование многочлена (принцип Дирихле).
(16 Ноя '14 11:57)
EdwardTurJ
У меня самая первая идея тоже была рассмотреть многочлены с коэффициентами 0 и 1, а потом попробовать доказать совпадение остатков. Но потом я стал рассматривать случаи небольших значений $%n$%. Уже при $%n=2$% бросилась в глаза общая идея сдвига. Интересно, кстати, рассмотреть задачу нахождения наименьшей степени, для которой имеет место делимость.
(16 Ноя '14 12:17)
falcao
|