Доказать, что для произвольного натурального $%n$% найдётся ненулевой многочлен с коэффициентами $%-1,0,1$%, делящийся на $%(x-1)^n$%.

задан 16 Ноя '14 11:20

изменен 16 Ноя '14 11:41

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%(x-1)(x^2-1)(x^4-1)\ldots(x^{2^{n-1}}-1)$% делится на $%(x-1)^n$%; его степень меньше $%2^n$%, поэтому при умножении далее на $%x^{2^n}$% коэффициенты сдвигаются достаточно далеко, и после домножения на $%x^{2^n}-1$% они по-прежнему будут принимать значения $%-1,0,1$% (индукция).

ссылка

отвечен 16 Ноя '14 11:49

@falcao: Хорошая конструкция. Я же доказывал существование многочлена (принцип Дирихле).

(16 Ноя '14 11:57) EdwardTurJ

У меня самая первая идея тоже была рассмотреть многочлены с коэффициентами 0 и 1, а потом попробовать доказать совпадение остатков. Но потом я стал рассматривать случаи небольших значений $%n$%. Уже при $%n=2$% бросилась в глаза общая идея сдвига. Интересно, кстати, рассмотреть задачу нахождения наименьшей степени, для которой имеет место делимость.

(16 Ноя '14 12:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×318
×136

задан
16 Ноя '14 11:20

показан
564 раза

обновлен
16 Ноя '14 12:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru