|
Многочлен степени $%n$% имеет целые корни $%x_1>x_2>\dots>x_n$%. Корни его производной - также целые числа. Найти $%\min (x_1-x_n)$% для $%3\le n\le5$%. задан 16 Ноя '14 11:34 
EdwardTurJ |
|
$%min=14$% для $%n=4$% для многочлена $%x(x-6)(x-8)(x-14)$% я также получил вычислительным путем. Для $%n=5$% нашёл только один многочлен $%x(x-180)(x-285)(x-460)(x-780)$% (с точностью до множителя, сдвига и "симметрии" корней между наименьшим и наибольшим корнями). Не знаю, существуют ли такие многочлены для $%n>5$%. отвечен 16 Ноя '14 15:52
EdwardTurJ |
Для $%n=3$% у меня вышло 24 для многочлена $%x(x-9)(x-24)$%, где корни производной равны 4 и 18. Вычислительный путь, наверное, возможен и при других значениях $%n$%, но я пытался искать чего-то более красивого.
Для $%n=3$% ответ тоже 24: $%x(x-15)(x-24)$%; производная, соответственно: $%3(x-6)(x-20)$%. Можно вопрос EdwardTurJ: что это за задача? Ваша?
@Lyudmyla: Да, это моя задача.
В многочленах $%x(x−15)(x−24) и $% $%x(x−9)(x−24)$% средние корни "симметричны" $%15+9=24$%.
@EdwardTurJ! Если у Вас есть еще задачи на многочлены (школьные), предлагайте еще!