|
Дан многогранник с 67 вершинами, вписанный в сферу радиуса 6. Этот многогранник устроен так, что можно выбрать набор из 66 вершин такой, что все тетраэдры с вершинами в любых четырех точках этого набора имеют равные объемы. Найти максимальный объем данного многогранника. задан 16 Ноя '14 20:50 
mulene |
|
Очевидно, что для того, чтобы у данных 3 вершин все 63 тетраэдра, содержащих их, имели равные объёмы, как минимум 32 другие должны лежать в одной плоскости, параллельной основанию. Значит, все объёмы их могут равняться нулю, т.е. все вершины лежат в одной плоскости, а наш многогранник - это пирамида. Среди всех вписанных в окружность постоянного радиуса n-угольников наибольшую площадь имеет правильный, а среди конусов, вписанных в сферу, наибольший возможный объём - $%\dfrac{\pi R^2}{3}\cdot\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{4}{3}\!\!R.$% Значит, объём многогранника равен $%\dfrac4 3\!\!R\cdot\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{66R^2} 3\sin\dfrac{\pi}{66}=33R^3\!\sin\!\!\dfrac{\pi}{66}.$% отвечен 16 Ноя '14 23:43 
trongsund |