геометрия - Стереометрия (подготовка к олимпиаде) [закрыт]

1) Обозначим как $%D$% середину стороны $%BC.$% Видим, что $%SA=4,\space DA=\dfrac{3\sqrt3}{2}\!\!,\space SD=\dfrac{\sqrt{55}}{2}\!\!,$% а также плоскость треугольника SAD перпендикулярна ВС.

2) Проведём из точки $%D$% высоту $%DH\!$% к стороне $%SA. $% Она будет равна $%\dfrac{3\sqrt3\cdot\sqrt{13}}{8}\!\!.$%

3) Также $%BH\!\perp SA, \space CH\!\perp SA,\space BH=CH=\dfrac{3\sqrt{55}}{4}\!\!.$%

4) Пусть $%\alpha=\angle BHC.$% Тогда $%\mathrm{tg}\!\dfrac{\alpha}2=\dfrac{4}{\sqrt{39}}\!,\space\mathrm{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}2\right)=\dfrac{\sqrt{39}-4}{\sqrt{39}+4}.$% Плоскость, образующая угол $%\dfrac{\pi}4$% с плоскостью SAB, пересекает плоскость BCH по прямой, образующей с АВ угол 45 градусов. Пусть она пересекается с ВС в точке М, тогда $%\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{S_{HBM}}{S_{HCM}}=\dfrac{BM}{CM}=\dfrac{\mathrm{tg}\!\frac{\alpha}2+\mathrm {tg}(\frac{\pi}4-\frac{\alpha}2)}{\mathrm{tg}\!\frac{\alpha}2-\mathrm {tg}(\frac{\pi}4-\frac{\alpha}2)}=\dfrac{55}{8\sqrt{39}-23}\!.$%