|
Дан ромб $%ABCD$%, $%R_1$% и $%R_2$% - радиусы окружностей, описанных около треугольника $%ABC$% и треугольника $%ADB$% соответственно. Найти площадь ромба $%ABCD$%. задан 19 Ноя '14 18:34 
Vipz3 |
|
Острые углы ромба $%x$%, тупые соответственно $%\pi - x$%. Сторона ромба - $%a$%, высота ромба - $%h = a \sin x; \ S = a^2 \sin x$%. Из теоремы синусов для остроугольного треугольника $%a/\sin ((pi - x)/2) = 2r; a = 2r \cos (x/2)$% для тупоугольного треугольника $%a/\sin(x/2) = 2R$% ; $%a = 2R \sin x/2{\rm tg} (x/2) = r/R\sin x = 2 {\rm tg} (x/2) / (1 + {\rm tg}^2 (x/2)) = 2 (r/R) R^2/(r^2 + R^2) =$% $%2rR/(r^2 +R^2)a^2 = 4Rr \sin (x/2) \cos (x/2) = 2 Rr \sin x = 4R^2 r^2 / (r^2 + R^2); $% $%S = a^2 \sin x = 8 R^3 r^3 /(r^2 + R^2)^2$% отвечен 19 Ноя '14 22:01 
stander |
|
Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, выражается через его стороны -- или через теорему синусов, или по формуле "произведение сторон разделить на учетверённую площадь". Половины диагоналей обозначаем через $%a$% и $%b$%, сторону ромба через $%c$%. Радиусы при этом равны $%R_1=\frac{c^2}{2a}$% и $%R_2=\frac{c^2}{2b}$%. Подставляя $%a$%, $%b$% в уравнение $%a^2+b^2=c^2$%, выражаем $%c$%. Тогда мы знаем $%a$%, $%b$%, а площадь ромба равна $%2ab$%. отвечен 19 Ноя '14 23:13 
falcao |