|
Найти все функции $%f: \mathbb R \to \mathbb R$%, удовлетворяющие при всех $%x \ne 0$% и $%y$% уравнению $$xf(y) - yf(x) = f\left( {\frac{y}{x}} \right).$$ задан 19 Ноя '14 22:21 
EdwardTurJ |
|
Полагая $%y=zx$%, имеем $%xf(zx)-xzf(x)=f(z)$%, то есть $%f(xz)=zf(x)+\frac1xf(z)$% при $%x\ne0$%. Симметрично, $%f(xz)=xf(z)+\frac1zf(x)$% при $%z\ne0$%. Из этих равенств, в частности, следует, что $%f(1)=0$% и $%f(-1)=0$%. При $%x,z\notin\{0;\pm1\}$% из $%zf(x)+\frac1xf(z)=xf(z)+\frac1zf(x)$% получаем $%\frac{f(x)}{x-\frac1x}=\frac{f(z)}{z-\frac1z}$%, откуда $%f(x)=c(x-\frac1x)$% для некоторой константы. Такие функции удовлетворяют уравнению для всех $%x\ne0$%, и при $%x=\pm1$% получается то, что нужно. отвечен 20 Ноя '14 0:48 
falcao Мне нравится это уравнение тем, что решается "разделением" переменных. Придумал уравнение в 2006 году.
(20 Ноя '14 0:55)
EdwardTurJ
@EdwardTurJ: я начал с того, что начал выражать одно через другое, и в процессе анализа чего-то типа $%f(2\cdot\frac12)$% обратил внимание на симметрию. В принципе, хорошая задумка с разделением переменных.
(20 Ноя '14 0:58)
falcao
|