|
В $%\triangle ABC$% на стороне $%BC$% выбрали точку $%D$% так, что радиусы окружностей, вписанных в $%\triangle ABD$% и $%\triangle ACD$%, равны. Вычислить длину отрезка $%AD$% через стороны $%\triangle ABC$%. задан 20 Ноя '14 17:11 
EdwardTurJ |
|
Введём обозначения: $%AD=x,CD=m,DB=n$%. Радиусы окружностей, вписанных в $%△ABD$% и $%△ACD$% равны, поэтому $%\frac{S(ACD)}{b+x+m}=\frac{S(ABD)}{c+x+n}$%. Поскольку $%\frac{S(ACD)}{S(ABD)}=\frac{m}{n}$% и $%m+n=a$%, то из соотношений получаем: $$m=\frac{a(b+x)}{b+c+2x},n=\frac{a(c+x)}{b+c+2x}.$$ Запишем теорему Стюарта: $%ax^2=nb^2+mc^2-amn$% (её проще всего доказать, записав дважды теорему косинусов для углов при вершине $%D$%), или $$ax^2=\frac{a(c+x)}{b+c+2x}b^2+\frac{a(b+x)}{b+c+2x}c^2-a\frac{a(c+x)}{b+c+2x}\frac{a(b+x)}{b+c+2x},$$ $$x^2(b+c+2x)^2=(c+x)(b+c+2x)b^2+(b+x)(b+c+2x)c^2-a^2(c+x)(b+x),$$ $$x^2(b+x)^2+x^2(c+x)^2+2x^2(b+x)(c+x)=$$ $$=(c+x)^2b^2+(c+x)(b+x)b^2+(b+x)^2c^2+(b+x)(c+x)c^2-a^2(c+x)(b+x),$$ $$(b+x)^2(x^2-c^2)+(c+x)^2(x^2-b^2)+(b+x)(c+x)(2x^2-b^2-c^2+a^2)=0,$$ $$(b+x)(c+x)(b+x)(x-c)+(c+x)(b+x)(c+x)(x-b)+(b+x)(c+x)(2x^2-b^2-c^2+a^2)=0,$$ $$(b+x)(c+x)\left((b+x)(x-c)+(c+x)(x-b)+(2x^2-b^2-c^2+a^2)\right)=0,$$ $$(b+x)(c+x)(4x^2-(b+c)^2+a^2)=0,$$ $$AD=\sqrt{p(p-a)}.$$ отвечен 11 Дек '14 21:13
EdwardTurJ 1
Здесь есть такая информация http://www.artofproblemsolving.com/community/c1090h1048353
(4 Ноя '16 23:28)
kerim
@EdwardTurJ: Not at all
(5 Ноя '16 0:08)
kerim
|
|
$%p- $% полупериметр $%\triangle ABC,\ r -$% радиус вписанной окружности $%\triangle ABC$%, $% \ BC =a$% $%r_1 -$% радиус вписанных окружностей $%\triangle ABD, \ \triangle ACD$% $$AM= AK , \ AN=AL$$ $$MD=PD, \ ND=DQ$$ Поэтому : $%2AD= AM+AN+MD+ND=2p-2(BP+CQ) \Rightarrow BP+CQ=p-AD$% $%\dfrac{BP+CQ}{r_1}= \dfrac{a}{r} \Rightarrow \boxed{\dfrac{p-AD}{a}=\dfrac{r_1}{r}} \ (1)$% $%p_1-$% полупериметр $%\triangle ABD,\ p_2-$% полупериметр $%\triangle ACD$% $$p_1+p_2=p+AD, \ (p_1+p_2) \cdot r_1=p \cdot r$$ $$\boxed {\dfrac{p+AD}{p}=\dfrac{r}{r_1}} \ (2)$$ из $%(1) и (2)$% получаем : $$AD^2=p^2-a\cdot p$$ $$r_1= \dfrac{r}{a} \cdot \left( p- \sqrt{p \cdot(p-a)} \right )$$ отвечен 12 Ноя '16 21:20 
Sergic Primazon |
Ответ $%\sqrt{p(p-a)}$%, но я к нему пришёл "некрасивым" вычислительным путём. Наверное, должно быть что-то более элегантное. Скорее всего, можно как-то удачно применить тригонометрию (у меня были векторы и скалярные произведения).
@falcao: Я также вычислил длинным путём. Мне кажется, что у такого красивого ответа должно быть и красивое решение.
@EdwardTurJ: Подскажите, пожалуйста, как хотя бы приблизительно решить эту задачу? Я вообще ни к чему более или менее внятному прийти не могу.