интегральные-уравнения - Нелинейное интегральное уравнение

Решение

Положим $$a = \frac{1}{{\sqrt {km} }},\,\,\,\,\,b = \sqrt {\frac{k}{m}} $$ Тогда уравнение примет вид $$x(t) = a\int\limits_0^t {F(\tau )\sin (bt - b\tau )\,\partial \tau } $$

Воспользуемся формулой Лейбница: $$x(t) = \int\limits_{a(t)}^{b(t)} {f(t,\tau )\,\,\partial \tau } \Leftrightarrow x'(t) = \int\limits_{a(t)}^{b(t)} {\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {f(t,\tau )} \right)\,\,\partial \tau + f(t,b(t))b'(t) - f(t,a(t))a'(t)} $$ Откуда $$ \begin{align} x'(t) & = a \cdot \int\limits_0^t {F(\tau ) \cdot b \cdot \cos (bt - b\tau )\,\,\partial \tau + F(t) \cdot \sin (bt - bt) - F(0) \cdot 0} \cr & = ab\int\limits_0^t {F(\tau ) \cdot \cos (bt - b\tau )\,\,\partial \tau } \end{align}$$ $$ \begin{align} x''(t) & = ab \cdot \int\limits_0^t { - b \cdot F(\tau ) \cdot \sin (bt - b\tau )\,\,\partial \tau } + F(t) + F(0) \cdot 1 \cdot 0 \cr & = - a{b^2} \cdot \int\limits_0^t {F(\tau ) \cdot \sin (bt - b\tau )\,\,\partial \tau } + F(t) \end{align}$$

Ясно, что при $%x(0) = x'(0) = 0$% выполняется. Покажем, что выполняется $%m \cdot x''(t) + k \cdot x(t) = F(t)$%

$$ \begin{align} m \cdot x''(t)\, + k \cdot x(t) & = - \sqrt {\frac{k}{m}} \cdot \int\limits_0^t {F(\tau ) \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}} (t - \tau )} \right)} \,\,\partial \tau + F(t) + \cr & + \sqrt {\frac{k}{m}} \cdot \int\limits_0^t {F(\tau ) \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}} (t - \tau )} \right)} \,\,\partial \tau \cr & = F(t) = F(t) \end{align}$$

Что и требовалось показать!