математика - Как доказать? [закрыт]

$%120=2^3\cdot3\cdot5$%, поэтому возникают три отдельных более простых задачи: доказать делимость на 8, 3 и 5 соответственно.

Для делимости на 3 совсем просто: уже $%(n-1)n(n+1)$% делится на 3 как произведение трёх последовательных целых чисел. Среди них одно кратно трём.

Для делимости на 5 нас по аналогичной причине устроило бы произведение пяти чисел, то есть $%(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$%. Здесь мы домножили на $%n^2-4$%. Надо заметить, что этот множитель с точки зрения делимости на 5 "эквивалентен" тому, что у нас есть, то есть $%n^2-5n+26$%, поскольку они отличаются на число $%5(n-6)$%, кратное пяти.

Осталось сказать про делимость на 8. Она имеет место, если у нас в произведении есть 4 последовательных числа. Среди них два чётны, а одно из них делится ещё и на 4, поэтому всё вместе делится на 8. Остаётся заметить, что $%n^2-5n+26=(n^2+3n+2)-8(n-3)$%, и с точностью до кратного 8 происходит домножение на $%(n+1)(n+2)$%, после чего у нас появляется кратное произведению чисел от $%n-1$% до $%n+2$%.