|
В зале находятся 98 человек, каждый из них либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо лжец, который всегда лжёт. Первый человек сказал: «Количество лжецов в этом зале делится на 1». Второй человек сказал: «Количество лжецов в этом зале делится на 2». … и так далее ... Девяносто восьмой человек сказал: «Количество лжецов в этом зале делится на 98». Сколько на самом деле лжецов может быть в зале? задан 21 Ноя '14 0:43 
serg55 |
|
Пусть $%k$% -- количество лжецов. Особо отметим случай, когда $%k=0$%: так могло быть, потому что 0 делится на все числа, и все сказали правду. Проанализируем остальные варианты, когда $%k$% натуральное. Количество правдивых высказываний равно числу натуральных делителей $%k$%. Обозначая это число через $%d(k)$%, приходим к уравнению $%d(k)+k=98$%. Понятно, что делителей у числа от 1 до 98 не может быть много: несложный анализ с использованием известной формулы показывает, что оно не превосходит 12, где максимум наблюдается у чисел с каноническим разложением вида $%p^2qr$%, а также у чисел $%2^3\cdot3^2$% и $%2^5\cdot3$%. При этом самому числу 12 соответствует значение $%k=86$%, у которого делителей меньше. Также можно заметить, что нечётные числа можно не проверять, так как $%d(k)$% нечётно только для точных квадратов, а последнее такое число равно 81, и оно не подходит. Проверяя значения для $%d(k)$%, равные 2, 4, 6, 8, 10, видим, что им соответствуют числа 96, 94, 92, 90, 88, и совпадение имеет место для второго и третьего из них. Таким образом, лжецов могло быть 0, 92 или 94. отвечен 21 Ноя '14 1:12 
falcao @falcao: У меня появилось сомнение, может ли быть ответом число 0, ведь по условию задачи: "В зале находятся 98 человек, каждый из них либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо лжец, который всегда лжёт.". То есть получается, что лжец должен быть, а при k = 0 получается, что лжецов нет. Или я все-таки не до конца понял условие задачи и фраза, что либо рыцарь, либо лжец, подразумевает, что лжецов может и не быть. Заранее благодарен за разъяснения, извините, если Вам кажется, что вопрос глупый.
(6 Дек '14 14:34)
serg55
1
@serg55: допустим, что в зале находятся только рыцари. Тогда условие "каждый либо рыцарь, либо лжец", верно. В самом деле, если мы начнём проверять каждого на этот предмет, то все пройдут этот тест. Могло получиться иначе только если бы среди участников обнаружились те, кто иногда говорят правду, а иногда лгут. Но условие гласит, что таких нет. Тот факт, что хотя бы один лжец есть, в условии не дан. Они могут быть -- только и всего. Если бы условие такого не допускало, одно должно было звучать примерно так: в зале 98 человек, среди которых есть и рыцари, и лжецы. Но это не сказано.
(6 Дек '14 15:03)
falcao
|