|
Помогите, пожалуйста, найти производную 5-го порядка следующей функции: $$y=\sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x$$ Я никак не могу сообразить, как здесь использовать формулу Лейбница. Заранее спасибо! задан 21 Ноя '14 1:09 
reservatin |
|
По формуле Лейбница для трёх сомножителей получается сумма выражений вида $%f_1^{(k_1)}f_2^{(k_2)}f_3^{(k_3)}$%, где $%k_1+k_2+k_3=5$%, и слагаемые целые неотрицательные. При этом нулевая производная -- это сама функция. Типы троек с суммой 5 можно перечислить в таком виде: 500, 410, 320, 311, 221, где слагаемые могут следовать в любом порядке. Если проанализировать все возможности, то их будет 21 штука, и в каждом случае соответствующее произведение легко выписать. Однако это несколько громоздко, и если способ решения не задан, то предпочтительнее представить произведения тригонометрических функций в виде сумм с коэффициентами. Следуя такому способу, мы получаем $%\sin x\sin3x=\frac12(\cos2x-\cos4x)$% и далее $%y=\frac12\sin2x\cos2x-\frac12\sin2x\cos4x=\frac14(\sin4x-\sin6x+\sin2x)$%. В таком виде всё дифференцируется просто, и получается $%y^{(5)}=8(\cos2x+32\cos4x-243\cos6x)$% (так как пятая производная синуса -- это косинус). отвечен 21 Ноя '14 1:31 
falcao |