тригонометрия - Тригонометрическое уравнение

Удобно положить $%a=\cos x$%, $%b=\sin x$%. При этом $%10ab+3b+3=0$%, а также $%b\in{\mathbb Q}$% и $%a^2+b^2=1$%. Понятно, что $%b\ne0$%, поэтому $%a=-\frac3{10}(1+\frac1b)$%. Заметим, что $%a$% также рационально. Подставляя это значение в соотношение, связывающее между собой $%a$% и $%b$%, приходим к уравнению четвёртой степени $%100b^4-91b^2+18b+9=0$%, у которого $%b=-1$% является корнем, что приводит к разложению на множители $%(b+1)(100b^3-100b^2+9b+9)=0$%. (На самом деле, множитель $%b+1$% сразу можно было выделить.) У кубического уравнения подбором находится рациональный корень $%b=\frac35$%. Далее после деления на двучлен получается $%(b+1)(5b-3)(20b^2-8b-3)=0$%. Корни квадратного уравнения иррациональны, их не учитываем.

Для $%b=-1$% имеем $%a=0$%, что приводит к серии $%x=-\frac{\pi}2+2\pi k$%, где $%k\in\mathbb Z$%. Если $%b=\frac35$%, то $%a=-\frac45$%. Это даёт ещё одну серию $%x=\pi-{\rm artcg}\frac34+2\pi k$%.