Найти точки разрыва функции: $$ f(x,y) =\begin{cases}(x+y)*(\ln x+ \ln y) & x>0, y>0 \\0 & another \end{cases}$$ Помогите с методами решения подобных задач. Первая функция внутри определена на $$ \big\{(x,y) \in R^{2} : x>0, y>0 \big\} $$ Но, как я понимаю, нужно найти точки разрыва функции $%f(x,y)$%, которая определена в $%0$%? Во всех остальных она разрывна? Как это доказать?

задан 21 Ноя '14 4:47

изменен 21 Ноя '14 12:26

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

В каждой из областей $%\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x>0,y>0\}$% и $%\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x<0\vee y<0\}$% функция, очевидно, непрерывно.

Поэтому надо установить непрерывность только на границе, в данном случае - на координатных полуосях.

Пример: рассмотрим точку $%(0,y_0)$%, где $%y_0>0$%. Докажем, что это точка разрыва. Для этого нужно показать, что $$\lim_{x\rightarrow 0,y\rightarrow y_0}f(x,y)\neq f(0,y_0)=0.$$ Заметим, что $$\lim_{x\rightarrow 0+0}f(x,y_0)=\lim_{x\rightarrow 0+0}(x\ln x+x\ln y_0+y_0\ln x+y_0\ln y_0)=-\infty,$$ то есть существует направление ("горизонтальное"), в котором мы не получаем значение предела, равное $%0$%. Этого достаточно, чтобы говорить о разрывности в точке $%(0,y_0)$%.

Аналогичная процедура для $%(x_0,0)$% при $%x_0>0$%.

Отдельно надо смотреть точку $%(0,0)$%. Двигаемся в направлении прямой $%y=kx$%, где $%k\in(0;+\infty)$%, переходим к пределу $$\lim_{x\rightarrow 0+0}f(x,kx)=\lim_{x\rightarrow 0+0}(k+1)x(2\ln x+\ln k),$$ который равен нулю при всех значениях $%k$%. То есть предел по любому направлению равен нулю - значению $%f(0,0)$%. То есть в $%(0,0)$% функция непрерывна.

ссылка

отвечен 21 Ноя '14 15:57

изменен 21 Ноя '14 15:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,372
×606

задан
21 Ноя '14 4:47

показан
607 раз

обновлен
21 Ноя '14 19:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru