аналитическая-геометрия - Какую линию задает уравнение второго порядка?

Посмотрим, как мы должны повернуть оси, чтобы получилось уравнение канонического вида (т.е. без $%xy$%). Т.к. поворот записывается переходом $%x\mapsto x\cos\alpha-y\sin\alpha,\,y\mapsto x\sin\alpha+y\cos\alpha,$% пишем $$13(x\cos\alpha-y\sin\alpha)^2-48(x\cos\alpha-y\sin\alpha)(x\sin\alpha+y\cos\alpha)+$$$$+\;27(x\sin\alpha+y\cos\alpha)^2=45.$$ Коэффициент при $%xy$% равен $%54\sin2\alpha-26\sin2\alpha-48\cos2\alpha=28\sin2\alpha-48\cos2\alpha,$% и это выражение равно 0 при $%\mathrm{tg}\:2\alpha=\frac{12}{7}\!\!,\, \mathrm{tg}\:\alpha=\frac{\sqrt{193}-7}{12}\!\!, \,\sin\alpha=\frac{\sqrt{193}-7}{\sqrt{286-14\sqrt{193}}}\!\!.$%

Проще, правда, сделать следующим образом. Найдём угол между асимптотами - они выражаются уравнением $%13x^2-48xy+27y^2=0,$% из чего $%x-3y=0$% или $%x-\frac{9}{13}\!y=0.$% Т.к. в уравнении кривой свободный член положителен, нас интересует случай, когда оба линейных выражения одного знака, а в данном случае это больший угол между асимптотами: $$\mathrm{tg}\dfrac{\alpha}2=\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{50+40}{30}=3.$$ Это значит, что в каноническом виде уравнение будет иметь вид $%\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{9a^2}=1.$%

Осталось найти величину $%a.$% Для этого распишем $%x=r\cos\theta, \:y=r\sin\theta$% и представим уравнение в виде $%r^2(13\cos^2\theta+27\sin^2\theta-48\cos\theta\sin\theta)=45.$% Перепишем его в виде $%r^2(20-7\cos2\theta-24\sin2\theta)$% и сразу видим, что минимальное $%r,$% при котором достигается значение формы 45, равно 1. Поэтому $%a=1,$% и форма выглядит как $$x^2-\dfrac{y^2}9=1.$$