Найти определитель блочной матрицы

При $%n=1$% ответ равен 2, так как к матрице $%e_{11}$% прибавляется она сама.

Индукция здесь, наверное, не нужна: при $%n > 1$% мы преобразуем матрицу и добиваемся того, что в ней появляются пропорциональные (одинаковые) строки. Из этого будет следовать, что определитель равен нулю.

Если из первой строки вычесть строку с номером $%2n$%, то при этом ничего хорошего не произойдёт. У этих строк единицы стоят совсем по-разному, то есть вычитать друг из друга надо что-то похожее между собой.

Будем каждую строку длиной $%n^2$% рассматривать в виде вектора, состоящего из $%n$%-мерных векторов. С этой целью введём обозначение $%E_i$% для $%i$%-го единичного $%n$%-мерного вектора, то есть $%E_i$% есть строка вида 0 ... 0 1 0 ... 0, где единица занимает $%i$%-е по счёту место. Самая первая строка матрицы в этих обозначениях имеет такой вид: $%2E_1$%, $%E_1+E_2$%, ... , $%E_1+E_n$%. Строка матрицы с номером $%n+1$% полностью состоит из $%E_1$%, так как к ней ничего не прибавляли. После того, как мы из первой строки вычтем строку с номером $%n+1$%, мы получим в первой строке векторы $%E_1$%, $%E_2$%, ... , $%E_n$%, следующие друг за другом.

Теперь рассмотрим вторую и $%(n+2)$%-ю строки матрицы. Во второй строке мы видим только векторы $%E_2$%: к ним ничего не прибавлялось. Строка с номером $%n+2$% является второй строкой второго сверху ряда матриц, и она была точно такой же, пока к ней не прибавили векторы $%E_1$%, ... , $%E_n$% соответственно. Таким образом, после вычитания второй строки из $%(n+2)$%-й, мы на месте последней получим векторы $%E_1$%, $%E_2$%, ... , $%E_n$%, которые у нас уже есть в самой первой строке.

Определитель в процессе преобразований не менялся, и получилась матрица, у которой две строки совпали. Значит, он был равен нулю.