|
Известно ли точное значение нормы в $%L^2[0,1]$% оператора интегрирования? Имеется в виду оператор $$(Af)(x)=\int\limits_0^xf(t)dt.$$ Решение найдено. Всем спасибо. задан 22 Ноя '14 3:25 
armez |
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
22 Ноя '14 3:25
показан
510 раз
обновлен
22 Ноя '14 17:10
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Да, оно известно: норма равна $%2/\pi$%. Какого-либо совсем короткого и прямого доказательства я не знаю. Можно предложить вот эту ссылку. Можно также посмотреть книгу P.R. Halmos [1982]. A Hilbert Space Problem Book (стр. 180 с чем-то).
@falcao, спасибо за ответ. Хотелось бы получить этот результат элементарными средствами (без ссылок на спектральную теорию, наибольшее по модулю собственное значение оператора $%A^*A$% и т.п.).
Достаточно короткое и простое решение найдено.
@armez: можно было выбрать полную ортонормированную систему и посмотреть, как оператор действует на её элементах. Там тоже требуются какие-то подсчёты, но не очень сложные. А Вы какой способ применяли?
Тогда нужно будет обосновывать полноту, сходимость, почленное интегрирование разложений и т.п. Вместо этого достаточно разделить и умножить на $%\sqrt{cos \frac{\pi t}{2}}$% под знаком интеграла и использовать неравенство Коши-Буняковского. Возникающие при этом интегралы берутся, а дополнительные множители сокращаются. Фактически, это - неявный тест Шура для первой собственной функции.