математика - Непрерывность функции

Функция $%y=x^2$% не является равномерно непрерывной на всей прямой. Причина такова: если мы знаем, что числа $%x_1$%, $%x_2$% мало отличаются друг от друга, то их квадраты могут отличаться очень сильно.

Формальное доказательство: положим $%\varepsilon_0=1$%. Рассмотрим произвольное $%\delta > 0$% и покажем, что оно не подходит в следующем смысле: из условия $%|x_1-x_2| < \delta$% нельзя гарантированно прийти к выводу, что $%|x_1^2-x_2^2| < \varepsilon_0$%. Для этой цели выберем $%x_1=\frac1{\delta}$% и $%x_2=x_1+\frac{\delta}2$%. Ясно, что $%|x_1-x_2|=x_2-x_1=\frac{\delta}2 < \delta$%. При этом $%|x_1^2-x_2^2|=x_2^2-x_1^2=(x_1+\frac{\delta}2)^2-x_1^2=\delta x_1+\frac{\delta^2}4 > \delta x_1=1=\varepsilon_0$%.

В остальных рассматриваемых случаев функции будут равномерно непрерывными. Если рассмотреть их заданными на отрезке $%[0;1]$%, то обе они будут на нём определены и непрерывны. Тогда они равномерно непрерывны по известной теореме из курса анализа. Следовательно, на любом подмножестве отрезка они также будут равномерно непрерывны.