Определить промежутки монотонности функции: $%y=x+|\sin2x|$%.

Производную нашел ($%y'=1+2(|\sin2x|\cos2x/\sin2x)$%), а как решать дальше, не знаю...

Помогите, пожалуйста.

задан 23 Ноя '14 0:36

изменен 24 Ноя '14 18:19

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Так делать нельзя, потому что модуль -- функция недифференцируемая.

(23 Ноя '14 0:52) falcao

Рассмотрите отдельно два вида промежутков: $%(\pi n,\pi n+\frac{\pi}{2})$% и $%(\pi n+\frac{\pi}{2},\pi n+\pi)$%.

(23 Ноя '14 0:53) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим те $%x$%, для которых $%\sin2x\ge0$%. Они имеют вид $%x\in[\pi k;\frac{\pi}2+\pi k]$%, где $%k$% целое. На таких промежутках $%y=x+\sin2x$%, поэтому $%y'=1+2\cos2x$%. При этом для концевых точек здесь имеются в виду односторонние производные. Приравнивая к нулю, получаем $%\cos2x=-\frac12$%, откуда $%x=\frac{\pi}3+\pi k$% в пределах рассматриваемого промежутка. Легко видеть, что производная при этом меняет знак с плюса на минус при переходе через критическую точку, то есть в ней функция имеет локальный максимум.

Теперь рассматриваем условие $%\sin2x\le0$%. Здесь получаются промежутки вида $%x\in[-\frac{\pi}2+\pi k;\pi k]$%. Функция имеет вид $%y=x-\sin2x$%, откуда $%y'=1-2\cos2x$%. Условию $%y'=0$% соответствуют точки, для которых $%\cos2x=\frac12$%, то есть на данном промежутке это $%x=-\frac{\pi}6+\pi k$%. По знаку производной видно, что это точки локального максимума.

Таким образом, промежутки возрастания будут иметь вид $%[-\frac{\pi}2+\pi k;-\frac{\pi}6+\pi k]\cup[\pi k;\frac{\pi}3+\pi k]$%, а промежутки убывания имеют вид $%[-\frac{\pi}6+\pi k;\pi k]\cup[\frac{\pi}3+\pi k;\frac{\pi}2+\pi k]$%, где $%k$% целое.

ссылка

отвечен 23 Ноя '14 1:09

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×710
×356
×18

задан
23 Ноя '14 0:36

показан
4491 раз

обновлен
23 Ноя '14 1:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru