тождество - Упростить выражения $%\frac{(a^2\pm bc)(b^2\pm ac)}{(a\pm c)(b\pm c)} +\cdots$%

Подставляя $%c=0$%, получаем $%a^2+b^2$%. Отсюда можно сделать предположение, что значение симметрического выражения должно быть равно $%a^2+b^2+c^2$%. Это в принципе проверяется прямым раскрытием скобок, но такой путь видится не слишком простым чисто технически. Поэтому имеет смысл доказать тождественное равенство двух симметрических многочленов, а именно, $%(a^2+bc)(b^2+ca)(a+b)+(b^2+ca)(c^2+ab)(b+c)+(c^2+ab)(a^2+bc)(c+a)$% и $%(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2)$%.

Старшие члены имеют систему показателей 410, и младшими будут системы показателей 320, 311, 221. Разность выражается в виде $%A\sigma_1^3\sigma_2+B\sigma_1\sigma_2^2+C\sigma_1^2\sigma_3+D\sigma_2\sigma_3$% с неопределёнными коэффициентами (все многочлены здесь однородные степени 5). Положим $%a=2$%, $%b=c=-1$%, чтобы получить $%\sigma_1=0$%. Значения обоих многочленов равны $%-12$%. Из этого следует $%D=0$%. Далее подставляем числа $%a=b=2$%, $%c=-1$%. Здесь уже $%\sigma_2=0$%. Оба многочлена равны 36, откуда $%C=0$%. Подстановка чисел $%a=b=c=1$% даёт 24 для обеих частей, и получается $%81A+27B=0$%. Наконец, при $%a=b=1$%, $%c=-1$% получается 0 там и там, что приводит к равенству $%-A+B=0$%, то есть все коэффициенты равны нулю.

Наверное, такой способ тоже выглядит громоздко, и прямое раскрытие скобок ненамного сложнее, но пусть будет и такое решение.