треугольник - Методы изображений

Пусть $%O ^ * - $% центр окружности, $%A ^ * -$% точка на ней, $%O\!, A\!-$% их образы. Построим на луче $%OA\!$% точку $%B$% так, что $%AB=OA$% и проведём оттуда две касательных к образу окружности (это делается с помощью одной линейки, поэтому приём при изображениях остаётся эффективным). Для этого:

• проведём три прямых $%BP_1, \,BP_2,\, BP_3$% из точки $%B\:(P_1, \,P_2, \,P_3-$% ближние к $%B$% точки пересечения прямых с образом окружности);

• обозначим дальние от $%B$% точки пересечения прямых с образом окружности как $%P_1'\!,\, P_2'\!,\,P_3'$% соответственно;

• проведём прямые $%P_1\!P'_2,\,P_2\!P_1',\,P_3\!P_2'$% и $%P_2\!P_3';$%

• обозначим точку пересечения первой и второй прямой как $%L_1,$% а третьей и четвёртой - как $%L_2;$%

• проведём прямую $%L_1\!L_2,$% обозначив точки её пересечения с бразом окружности как $%C$% и $%D;$%

• тогда $%BC$% и $%BD$% - касательные.

Тогда можно провести через точку $%A$% прямую, параллельную $%CD.$% Параллельность при изображениях сохраняется, поэтому она будет касательной к образу окружности в этой точке.

Если провести через $%O$% прямую, параллельную $%CD,$% и обозначить точки пересечения, ближние по дуге исходной окружности к $%C$% и $%D$% как $%E$% и $%F\!$% соответственно, то угол $%C ^ * \!O ^ * \!F \!^ * $% будет равен 120 градусам. В таком случае можно провести через $%C$% прямую, параллельную $%OA,$% и она будет образом второй стороны нашего треугольника, а прямая $%GF\,(G=l_C\cap\omega)$% будет образом третьей стороны. Образ равностороннего треугольника построен.