неравенства - Доказать неравенство

Из того, что предел функции в левой части неравенства равен $%e$%, прямо ничего не следует, потому что функция не обязана стремиться к своему пределу монотонно. Кроме того, функция в правой части тоже стремится к $%e$%, поскольку она отличается от предыдущей множителем $%1+\frac1x$%, стремящимся к единице.

Здесь можно ещё отметить, что при рассмотрении второго замечательного предела обычно рассматривают последовательность $%(1+\frac1n)^n$%, или сразу две последовательности вместе с $%(1+\frac1n)^{n+1}$%. Про них при этом доказывают свойства монотонности, откуда выводится существование самого предела. Однако распространение этих свойств на функции вещественного аргумента требует некоторых усилий, поэтому имеет смысл доказать оба неравенства, выводя их из известных свойств элементарных функций, их производных и прочего.

У нас здесь дано по условию, что $%x > 0$%. Неравенства можно прологарифмировать, получая в результате $%\frac1{x+1}< \ln(1+\frac1x) < \frac1x$%, что и надо далее доказать. Удобно сделать замену переменной $%t=\frac1x$%, переписав неравенства в виде $%\frac{t}{t+1}< \ln(1+t) < t$%.

Доказательство проводим при помощи производной. Прежде всего, полагаем $%f(t)=t-\ln(1+t)$%. Ясно, что $%f(0)=0$%. Производная равна $%f'(t)=1-\frac1{1+t} > 0$% при $%t > 0$%. Отсюда ясно, что функция возрастает, поэтому $%f(t) > f(0)=0$% при всех положительных $%t$%, что и требовалось доказать.

Далее пусть $%g(t)=\ln(1+t)-\frac{t}{t+1}$%. Здесь также $%g(0)=0$%, а производная равна $%g'(t)=\frac1{1+t}-\frac1{(t+1)^2} > 0$% при $%t > 0$%, и проходит аналогичный аргумент.