анализ - Числовые ряды

а. установить сходимость и найти точное значение суммы ряда

$$ \sum_{n=3}^{\infty} {n+5\over(n+2)(n^2 - 1)} $$

б. исследовать знакоположительный ряд на сходимость; приближенно вычислить его сумму, приняв N=5; оценить при этом абсолютную и относительную погрешность вычислений.

$$ \sum_{n=1}^{\infty} {2n\over 2 ^{n-2}} $$

анализ

задан 29 Апр '12 12:25

Алёна
4●1●4

изменен 29 Апр '12 21:29

DocentI
10.0k●4●21●52

1 ответ

старые новые ценные

Сходимость проверяется по признаку сравнения, т.к. общий член ряда эквивалентен $%1/n^2$%. Общий член можно разложить на простейшие дроби в виде $%{1\over n-1}-{2\over n+1}+{1\over n+2}$%. Найдем частичную сумму $%S_k=\sum_3^k\big({1\over n-1}-{2\over n+1}+{1\over n+2}\big) =\sum_2^{k-1}{1\over n}-2\sum_4^{k+1}{1\over n}+\sum_5^{k+2}{1\over n}$%. Теперь аккуратно приводим подобные и переходим к пределу по $%k\to \infty$%. Ответ: $%7/12.$%
Исследовать на сходимость можно, например, по Даламберу. Погрешность при N = 5 будет равна $%R=\sum_{n=6}^\infty {2n\over 2^{n−2}}=\sum_{n=6}^\infty {n\over 2^{n−3}}$%. Эту сумму можно попытаться сравнить с геометрической прогрессией, так как ее сумму мы знаем. Заметим, что при $%n \ge 6$% имеем $%n\le 2^{n/2}$%, так что $%0\le R\le \sum_{n=6}^\infty {1\over 2^{n/2−3}}=\sum_{n=6}^\infty {1\over \sqrt 2^{n−6}}$%. Последняя сумма равна $%{1\over 1-1/\sqrt 2} ={\sqrt 2\over \sqrt 2 -1}=2+\sqrt 2 <3,5$%. Относительная погрешность равна $%R\over S_5$%. Оценка не очень строгая. Можно найти точное значение т.к. искомая сумма равна 16.

ссылка

отвечен 29 Апр '12 22:34

DocentI
10.0k●4●21●52

спасибо большое!!!

(29 Апр '12 22:59) Алёна

Пожалуйста! Задания не самые простые, я такие побаиваюсь давать студентам...

(29 Апр '12 23:04) DocentI

А вот нам такие задают,времени на оъяснения мало,без помощи трудно решить!

(29 Апр '12 23:28) Алёна

А где Вы учитесь?

(30 Апр '12 15:24) Андрей Юрьевич

в университете

(30 Апр '12 21:33) Алёна

Я не настаиваю на том, чтобы Вы назвали вуз и/или город, но если Вы можете это сделать - было бы интересно.

(1 Май '12 0:18) Андрей Юрьевич

показано 5 из 6 показать еще 1

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

регистрация »

отмечен:

анализ ×439

задан
29 Апр '12 12:25

показан
1350 раз

обновлен
1 Май '12 0:18

Связанные вопросы

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии