целые-числа - $%\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$%

Тройки чисел из условия задачи можно описать явно. Условие $%\frac1a+\frac1b=\frac1c$% означает, что $%ab=c(a+b)$%, откуда $%(a-c)(b-c)=c^2$%. Числа $%a-c$% и $%b-c$% не могут иметь общий простой делитель $%p$%, потому что в противном случае $%c$% будет делиться на $%p$%, и тогда каждое из чисел $%a$%, $%b$% также кратно $%p$%. Это противоречит условию, поэтому $%\gcd(a-c,b-c)=1$%. Произведение двух взаимно простых чисел является точным квадратом тогда и только тогда, когда сами эти числа суть точные квадраты. Отсюда мы имеем $%a-c=u^2$%, $%b-c=v^2$%, $%c=uv$% для некоторых натуральных $%u$%, $%v$%.

Ясно, что $%ab=uv(u+v)^2$%, поэтому $%abc=(uv)^2(u+v)^2$%. Тем самым, значения всех квадратных корней будут целыми, а общая сумма равна $%(uv+1)(u+v)$%.