|
Пусть $%K-$% конечное поле, $%L-$% его расширение, полученное присоединением корня какого-то неприводимого над $%K$% многочлена степени $%n.$% Верно ли, что любой многочлен степени $%n$% с коэффициентами из $%K$% имеет корень в $%L$%? Просто пример что-то не подбирается... задан 25 Ноя '14 2:04 
trongsund |
|
Если взять $%K=\mathbb Z_p$%, то поле $%L$% имеет порядок $%p^n$%. Положим $%n=5$% и возьмём многочлен 5-й степени, который является произведением двух неприводимых многочленов степени 2 и 3. Тогда он не имеет корней в $%L$%. Дело в том, что у всех элементов из $%L$% степень их минимального над $%\mathbb Z_p$% многочлена должна делить $%n$%. Конкретно, для $%p=2$% можно взять произведение $%(x^2+x+1)(x^3+x^2+1)=x^5+x+1$%. Группа $%L^*$% циклична порядка 31, и ни один из сомножителей не имеет в $%L$% корней, так как из $%x^2+x+1=0$% следует $%x^3=1$%, а из $%x^3+x^2+1=0$% следует $%x^7=1$%. В $%L$% такими свойствами обладает только $%x=1$%, но это не корень. отвечен 25 Ноя '14 3:14 
falcao Ясно. А если многочлен был неприводим над $%K,$% будет ли он иметь корни в $%L$%?
(25 Ноя '14 10:29)
trongsund
@trongsund: да, если неприводим, то обязательно будет. Критерий такой: степень неприводимого многочлена должна делить $%n$%. Поле строится по неприводимому многочлену, и оказывается, что оно с точностью до изоморфизма получается всегда тем же самым. Но всё сказанное относится только к случаю, когда $%K$% совпадает с основным полем. Для общего случая надо смотреть отдельно, что там получается, но строение конечных полей известно, поэтому можно будет точно сказать.
(25 Ноя '14 11:23)
falcao
@trongsund: для случая, когда $%K$% не обязательно является простым подполем, мы имеем $%|K|=p^m$%, $%|L|=p^{mn}$%. Если построить простое алгебраическое расширение поля $%K$% на основании другого неприводимого многочлена степени $%n$%, то получится поле из $%p^{mn}$% элементов, и оно изоморфно $%L$%. В построенном поле у многочлена есть корень по определению, а потому он есть и в изоморфном поле $%L$%.
(27 Ноя '14 10:31)
falcao
|