|
Решив неравенство $$\sqrt{x^2 - x - 56} - \sqrt{x^2 - 25x + 136} < 8\sqrt{\frac{x +7 }{x - 8}}, $$ найдите сумму его целых решений, принадлежащих отрезку $%[-25;25]$%. задан 25 Ноя '14 14:58 
Naz |
|
Здесь сначала требуется решить неравенство. Запишем его в виде $$\sqrt{(x+7)(x-8)}-\sqrt{(x-8)(x-17)} < 8\sqrt{\frac{x+7}{x-8}}$$ (корни квадратных трёхчленов здесь сразу ясны по теореме Виета). Из второго подкоренного выражения ясно, что либо $%x\ge17$%, и все такие числа входят в ОДЗ, либо $%x < 8$%, откуда $%x\le-7$%. Во втором случае можно сравнить два подкоренных выражения: ясно, что $%x+7 > x-17$%, и после домножения на отрицательное число $%x-8$% неравенство сменит знак. Левая часть примет отрицательное значение, и все $%x\le-7$% заведомо подойдут. Пусть теперь $%x\ge17$%. Разделим обе части неравенства на первый из квадратных корней. Получится $%1-\sqrt{\frac{x-17}{x+7}} < \frac8{x-8}$%. Это значит, что $%\frac{x-16}{x-8} < \sqrt{\frac{x-17}{x+7}}$%, и это неравенство будет равносильно возведённому в квадрат. Знаменатели положительны, на них домножаем, приходя к неравенству $%(x-16)^2(x+7)-(x-8)^2(x-17) < 0$%. После раскрытия скобок кубы сокращаются, и получается квадратичное неравенство $%8(x-18)(x-20) < 0$%. Это значит, что множеством решений исходного неравенства будет $%x\in(-\infty;-7]\cup(18;20)$%. Просуммировать целочисленные решения из заданного отрезка не составляет труда. отвечен 25 Ноя '14 18:24 
falcao |
Можно найти ответ, ничего не решая: проверить неравенство для $%51$% значения переменной. Если найти ОДЗ, можно ещё сузить перебор.