Доказать, что нет таких натуральных $%m$% и $%n$%, для которых значение выражения $$3^{m} + 3^{n} +1$$ будет точным квадратом натурального числа.
Помогите, пожалуйста.

задан 25 Ноя '14 21:05

изменен 26 Ноя '14 18:50

Будет точным, может быть?

(25 Ноя '14 21:15) cartesius
10|600 символов нужно символов осталось
2

Посмотрим остатки от деления на $%8$%.

Квадрат натурального числа даёт остатки $%0,1,4$%.

Степени тройки дают остатки $%1,3$%, поэтому выражение $%3^m+3^n+1$% даёт остатки $%3,5,7$%.

ссылка

отвечен 25 Ноя '14 21:17

изменен 25 Ноя '14 21:17

Благодарю за ответ. Я не понимаю одного: как доказать, что 3 в степени n плюс 3 в степени m не делиться на 8? Мы же не будем подносить тройки в разные степени и делить на 8, чтобы установить остатки.

(26 Ноя '14 18:54) NastyaNastya

Да, перебором: в данном случае это легко сделать. Например, остатки от деления на 8 (0,...7) возводим в квадрат и берем их остатки от деления на 8. Возможные значения - как раз 0,1,4. Аналогично с остатками при делении на 3.

(26 Ноя '14 19:01) cartesius

Ну, а если есть такое число: три в степени m плюс три в степени n, которое делиться на 8? Как доказать, что его нет?

(26 Ноя '14 19:13) NastyaNastya

@NastyaNastya: Число $%8$% "угадано".

Квадрат натурального:

Если квадрат нечётного: $%(2k+1)^2=4k(k+1)+1$% - остаток $%1$%, так как $%k(k+1)$% чётно.

Если квадрат чётного: $%(2k)^2=4k^2$% - остаток $%0$% либо $%4$%.

Степени тройки:

Если нечётная степень: $%3^{2k+1}=3\cdot9^k$% - остаток $%3$%.

Если нечётная степень: $%3^{2k}=9^k$% - остаток $%1$%.

А остатки от деления $%3^m+3^n$% на $%8$% - это всевозможные суммы двух остатков: $%1+1=2$%, $%1+3=4$%, $%3+3=6$%.

(26 Ноя '14 19:35) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрите остатки от деления на 8. Полный квадрат может иметь остатки $%0,1,4$%. Степени $%3$% - только $%1$% и $%3$%. Легко видеть, что ни при каких $%n$% и $%m$% мы не получим остатки, встречающиеся в правой части.

ссылка

отвечен 25 Ноя '14 21:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,116
×130

задан
25 Ноя '14 21:05

показан
1161 раз

обновлен
26 Ноя '14 21:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru