олимпиада - Доказать, что нет таких натуральных $%m$% и $%n$%

Благодарю за ответ. Я не понимаю одного: как доказать, что 3 в степени n плюс 3 в степени m не делиться на 8? Мы же не будем подносить тройки в разные степени и делить на 8, чтобы установить остатки.

Да, перебором: в данном случае это легко сделать. Например, остатки от деления на 8 (0,...7) возводим в квадрат и берем их остатки от деления на 8. Возможные значения - как раз 0,1,4. Аналогично с остатками при делении на 3.

Ну, а если есть такое число: три в степени m плюс три в степени n, которое делиться на 8? Как доказать, что его нет?

@NastyaNastya: Число $%8$% "угадано".

Квадрат натурального:

Если квадрат нечётного: $%(2k+1)^2=4k(k+1)+1$% - остаток $%1$%, так как $%k(k+1)$% чётно.

Если квадрат чётного: $%(2k)^2=4k^2$% - остаток $%0$% либо $%4$%.

Степени тройки:

Если нечётная степень: $%3^{2k+1}=3\cdot9^k$% - остаток $%3$%.

Если нечётная степень: $%3^{2k}=9^k$% - остаток $%1$%.

А остатки от деления $%3^m+3^n$% на $%8$% - это всевозможные суммы двух остатков: $%1+1=2$%, $%1+3=4$%, $%3+3=6$%.