|
Доказать, что пространство $%c[a,b]$% нормированное пространство и в нем нельзя ввести скалярное произведение так, чтобы норма $%||f||_c=\sqrt{(f,f)}$%, где $%c[a,b]$% пространство непрерывных функций на $%[a,b]$% и $%||f||:=\max|f(x)|$%, где $%x$% принадлежит $%[a,b]$%. задан 25 Ноя '14 21:23 
doomsday |
|
Проверка свойств нормы труда не составляет -- это следует из неравенства треугольника. Если скалярное произведение можно ввести, то выполняется равенство $%||f+g||^2+||f-g||^2=2(||f||^2+||g||^2)$%. Приведём пример функций, для которых это не так. Пусть $%f(x)=1$% и $%g(x)$% есть линейная функция со значениями 0 и 1 на концах, то есть $%g(x)=\frac{x-a}{b-a}$%. Тогда $%||f||=||g||=1$%, а также $%||f+g||=2$% и $%||f-g||=1$%. Равенство для таких функций не выполняется. отвечен 26 Ноя '14 0:18 
falcao |